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1、数学竞赛讲稿B1全国高校数学竞赛(上海赛区)复旦大学辅导班讲义第二章一元函数微分学一概念对于单侧导数，存在性质：例2.1若函数f(x)在[a,a+d]上连续,在(a,a+d).内可导,且limf¢(x)+x®a存在(有限或无限),则f¢(a)=limf¢(x).++x®a证明由于f(x)在[a,a+d]上连续,在(a,a+d).内可导,对x>a,根据f(x)-f(a)++Lagrange定理,存在xÎ(a,x),使=f¢(x).当x®a时x®a.x-a由于f¢(x)的右极限存在因此f(x)-f(a)lim=limf¢(x)=f¢(a).+
2、++x®ax-ax®a二高阶导数计算高阶导数常用的方法有如下几种注意参数方程的高阶导数计算.(1)直接计算x=a(t-sint)23ìdydydy例2.2设í,求,,.23îy=a(1-cost)dxdxdx解参数方程高阶导数的计算要注意其导数仍然是参数方程.2t2-cscdyy'asinttdy214t===cot;==-csc;2dtx'a(1-cost)2dx2a(1-cost)4a231×4csc3tcsctcottdy222216tt==csccot.34a×2asin2t2dx4a222(2)用Leibniz公式(n)(n)1
3、(n-1)(n)(uv)=uv+Cuv¢+L+uv.nx(n)例2.3设,y=求y.31+x数学竞赛讲稿B2(n-k)nænö-1-1(n)-1(n-1)解y(n)=åç÷x(k)((1+x)3)=x((1+x)3)+n((1+x)3)ç÷k=0èkøn-11×4×7×L×(3n-5)(3n+2x)=(-1).1nn+3(1+x)3(3).分项方法3ì0,nis偶数x(n)例2.4设f(x)=,求证f'(0)=0,f(0)=í,2x-1î-n!,nis奇数1æ11ö解f(x)=x+ç+÷,2èx-1x+1ø1æ-1-1öf¢(x)=1+ç
4、+÷,f'(0)=0;ç22÷2è(x-1)(x+1)ønn(n)1æ(-1)n!(-1)n!öf(x)=ç+÷,çn+1n+1÷2è(x-1)(x+1)ø于是(n)n!nì0,nis偶数f(0)=((-1)-1)=í.2î-n!,nis奇数1(6)例2.5设y=,求y(x).2x+3x+2解由于111y==-,(x+2)(x+1)x+1x+2于是(6)(6)(6)(6)æ11öæ1öæ1öy(x)=ç-÷=ç÷-ç÷èx+1x+2øèx+1øèx+2ø6!6!=-.77(x+1)(x+2)(n)næ11ö类似得y=(-1)n!ç-÷.ç
5、n+1n+1÷è(x+1)(x+2)ø注意,此题直接求导的话，计算相当复杂极易出错.类似地,函数111y==-,这样就容易求高阶导数了,sinmxcosnx的k阶(x+2)(x+1)x+1x+2数学竞赛讲稿B3导数也可以先将函数化为两个简单函数的和1sinmxcosnx=(sin(m+n)x+sin(m-n)x),再求导.2(4)递推法.(n)例2.6f(x)=arctanx,计算f(0).12x2解f¢(x)=,f¢¢(x)=-,或(1+x)f¢(x)=1.两端求n-12221+x(1+x)阶导数,得到2(n)(n-1)(n-1)(n-
6、2)(n-2)(1+x)f(x)+(n-1)2xf(x)+2f(x)=02(n)(n-2)令x=0,得到f(0)+(n-1)(n-2)f(0)=0,即(n)(n-2)f(0)=(-1)(n-1)(n-2)f(0),又f¢(0)=1,f¢¢(0)=0.递推得n-1ìf(n)(0)=ï(-1)2(n-1)!,n为奇数íïî0,n为偶数(n)例2.7y=arcsinx,计算f(0).1222解y'=,(1-x)y¢=1,(1-x)y''-xy'=0,21-x两端对x求n-2次导得,2(n)1(n-1)2(n-2)(1-x)y(x)+C(-2x)
7、y(x)+C(-2)y(x)n-2n-2(n-1)(n-2)-xy(x)-(n-2)y(x)=0,令x=0得递推关系,(n)2(n-2)y(0)=(n-2)y(0).(2k)由y'(0)=1,y''(0)=0,得y(0)=0,(2k+1)22y(0)=((2k-1)(2k-3)L5×3×1)=[(2k-1)!!],k=1,2,L.(n)例2.8f(x)=cos(marcsinx),g(x)=sin(marcsinx),求f(0)2m22m解f'(x)=-sin(marcsinx),平方,(f'(x))=sin(marcsinx)21-x2
8、1-x数学竞赛讲稿B4再求导,32()()m2()2xm2f'f"=2sinmarcsinxcosmarcsinx+sinmarcsinx322(1-x2)2(1-x)2m()()xm22f"
