高等数学Game讲稿_A.pdf

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1、数学竞赛讲稿A1全国高校数学竞赛(上海赛区)复旦大学辅导班讲义第一章函数、极限、连续一极限的证明极限主要介绍极限的证明和计算.在证明方面主要介绍单调有界存在极限的思想夹逼性方法n例1.1(夹逼性方法)若a>0,证明lima=1.n®¥11n解当a=1时结论是显然的;当01,因n1aann此不妨设a>1.这时a>1,因此设a=1+h,h>0.只要证明limh=0nnnn®¥n就可以了.因为a=1+h,所以n()nn(n-1)2na=1+h=1+nh+h+L+h>1+nh,(1.1)nnnnn2a-1a-1即a>1+nh,或h<.这样得到了估计式0

2、h.nnnnn222n于是得到0

3、nÛç1+÷3时,ç1+÷1,因此limn存ènøn®¥nnnn在.又x=2×n=2x,令n®¥,得limn=1.2nnn®¥1解III1£nn=(nn×1×L×1)nn+n+1+L+12n+n-22£=<1+,nnnn根据夹逼性得到limn=1.n®¥n由此例也推得如下命题:若lima=a>0,则lima=1.nnn®¥n®¥n例1.2(夹逼性方法)若00.于是1+lnnn20<

4、na

5、=<=，nn(n-1)nl2(

6、1+l)2(-1)l22n而lim=0,于是,由夹逼性知limna=0.n®¥(n-1)l2n®¥2f(y-x)y例1.3(单调性)设F(x,y)=,F(1,y)=-y+5,x>0,02x2x=F(x2x),…,x=F(x,2x),n=1,2,L.证明limx存在，并求此极限100n+1nnnn®¥值．证首先设法单调x的具体表达式.令x=1,n2f(y-1)y22=F(1,y)=-y+5,f(y-1)=y-2y+10=(y-1)+9,于是2222(y-x)+9f(y-x)=(y-x)+9,F(x,y)=,2x222(2x-x)+9x+9x+9000nx==,L,x=

7、.1n+12x2x2x00n数学竞赛讲稿A32xn+91æ9ö1xn+11æç9ö÷1æ9öxn+1==ççxn+÷÷³xn×=3.于是=ç1+2÷£ç1+2÷=1,2xn2èxnøxnxn2èxnø2è3ø因此{x}单调减少并有下界,因此存在极限limx.设limx=A,由于nnnn®¥n®¥22xn+9A+9x=,取极限得A=,于是A=3或A=-3(舍去),因此n+12x2Anlimx=3.nn®¥1æaö例1.4(单调性)设a>0,x>0,x=ç3x+÷,m=1,2,L,求1n+14çnx3÷ènølimx.nn®¥1æaöa解x=çx+x+x+÷³4xxx=

8、4a,于是{x}有下界,又n+14çnnnx3÷nnnx3nènønxn+11æçaö÷1æaö=ç3+4÷£ç3+÷=1,因此{xn}单调减少,于是极限limn®¥xn存在.令xn4èxnø4èaø1a4limx=l,因此l=(3l+),解得limx=a.n3nn®¥4ln®¥1æaö推广之,若x=ç(k-1)x+÷,其中a>0,k是正整数,则n+1kçnxk-1÷ènøklimx=a.nn®¥有时也要用另一种形式的归纳法.113例1.5数列{a}为a=0,a=，a=(1+a+a)，n=2,3,L，n12n+1nn-123证明极限lima存在.并求此极限.nn®¥

9、解由数列{a}的构成,易知0£a<1成立.为证明其单调性,使用nn117归纳法.由于a=>a=0,a==a,a=>a,设对一切小于n的2132432212项a满足a³a,a³a,于是nnn-1n-1n-2133a-a=(a-a+a-a)³0.n+1nnn-1n-1n-23可见数列{a}单调增加有上界,因此存在极限.记lima=g,则nnn®¥数学竞赛讲稿A413g=(1+g+g).解得3-1+5-1-5g=1,g=,g=.222-1+5由于数列的项非负且容易归纳证明0