高等数学讲稿

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1、第七章多元函数及其微分法教学目的：1常握多元函数的极限与连续；2多元函数的求导方法；3多元函数微分在几何上的应用；4多元函数的极值教学重点：多元函数的极限与连续、多元函数的求导方法教学难点:多元函数的求导方法第一节多元函数的极限与连续一、平面区域首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：1、邻域：给定平面内Po(xo,yo)点，和某数/>0,以Po点为圆心，为力半径作圆，该圆内所有点的全体,即{(x,y)

2、(x-x°)+(y-y°)<5}f称为Po点的邻域，记做：U(Po0),简记U(Po)；2、内点：在平面点集E,存在P。的一个邻域U(Po),使得

3、U(Po)uE,则称Po为E的内点;3、开集：平面点集E内的所有点都是内点，则称点集E为开集；4、边界点：在平面上，存在某个点P,在P的任何邻域内，都含有点集E的点,又含有不是点集E的点，则称点P为点集E的边界点。5、连通：如果点集E内的任意两点都能用全属于E的折线连接起来，则称E为连通的。6、区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。7、有界无界区域：对于平面点集E,如果存在一个以原点为圆心的圆盘D,使EuD,则称为有界区域，否则称为无界区域。8、聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集E的点，称P为点集E的聚点。内点聚点¥

4、•132边界点否-定疋表示一定不是表示一定是【注】：平面点集屮点的关系如图，其屮:点集E点集E，是内点，3但不是边界点O点(边界点)，但非聚点。二、二元函数的极限和连续性1、二元函数定义1：设有变量X,y和z,如果当变量x,y在某一固定的范围内，任意収一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x,y的二元函数，记作：z=f(x,y),其中％,y称为自变量，z称为因变量。自变量x,y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。【注】1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数(n>l)；2、定义1中，当x,y的值取定后，

5、z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称z=f(x,y)为单值函数，但有时侯取值不是唯一的，这时我们称z=f(x,y)为多值函数。如：z2+y2+z2=9o一般悄况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。屮，x,y的取值范围。如:l<

6、x

7、<2,l<

8、y

9、<2>其中的定义3、二元惭数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即z=域就是D={x,y}={x,y

10、

11、x

12、W2,

13、y

14、W2}。其二我们给定的函数z=f(x,y),使得z有确定取值的(x,y)的取值范围。如：z=f(x,y)=ar

15、csin(x2+y2),其定义域为：D={(x,y)

16、x2+y2°头4、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。5、两二元函数相等，即f(x,y)=g(x,y)o定义域相等且起对应法则也必须相等。【例】求z=的定义域。解：显然要使得上式有意义。必须满足ty-°2、二重极限定义2：设Po(x°,y。)为函数z=f(x,y)定义域D的聚点，如果当定义域内任意一点P（Po除外）,以任何方式趋近Po时,即：PtPo,都有f（P）TA,则称f（x,y）在的Po二重极限为A。£-8语言表示：Ve>0,38>0,当°<

17、PPo

18、二J（x-x（））~+（y—y（））

19、2limf（P）=limf（x,y）=A时，恒有：

20、f（P）-A

21、=

22、f（x,y）-A

23、v£,込pt®炭。三、求极限的方法1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital法则外）对多元函数依I口成立。女山两个重要极限，等价无穷小法则等等。1lim(l+xy)耐xtO[[例1(1)、yTO(2解：(1):(2)：11xylim(l+xy)耐lim(l+xy)対航恤二xtOxtOx->otanxyyT°=y—>0=c'T=e=e22x-y22x+y2.222x_+y_xy(x2-y2)

24、・・原极限二o2、定义中提到任意方式趋近，我们可从中推断115：当我们能找到两条不同的路径LI,L2,使得PtPo,但是函数取得的极限却是不同的a,B吋，则我们称其函数limf(x,y)=y=kx—>0limy=kxT()xy22x_+ykx2limacXT0(l+k_)X〜kl+k2极限不存在。[xyf(x,y)=

25、lim(limf(x，y))lim(limf(x,y))称xtxoyTy°和y-