数学基础1.2矢量

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1、理论力学理论力学CAICAI数学基础数学基础•前言•矩阵•矢量矢量矢量•方向余弦阵•平面矢量理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系矢量矢量矢量••矢量、矢量基与基矢量矢量、矢量基与基矢量••矢量的代数描述矢量的代数描述••矢量对时间的导数矢量对时间的导数2008年9月2日2理论力学CAI数学基础矢量矢量矢量••矢量、矢量基与基矢量矢量、矢量基与基矢量••矢量的代数描述矢量的代数描述••矢量对时间的导数矢量对时间的导数2008年9月2日3理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量矢量、

2、矢量基与基矢量•几何矢量的定义•几何矢量的运算•矢量基与基矢量2008年9月2日4理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量的定义几何矢量的定义•具有方向与大小的量称为几何矢量(矢量)r–用上面加一箭头的白斜体字母表示ar–它的大小称为模a=aa•几何表示：有向线段–线段长度为矢量的模ra–指向为矢量的方向•模为1的矢量：单位矢量r•模为零的矢量：零矢量02008年9月2日5理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量的运算几何矢量的运算•矢量相等：两矢量的模相等、方向一致rra=

3、brbraa=b2008年9月2日6理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量的运算r•标量α与矢量的积c–方向与该矢量一致，模是它的α倍rrrrarc=αa=2abc=2arr•特殊情况b=−ara•矢量模的概念的拓展ra拓展为aa模为含方向rra=aea>0与单位矢量方向一致re单位矢量a<0与单位矢量方向相反2008年9月2日7理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量的运算•矢量和：平行四变形法则rrrrrrbccc=a+brbrraarrrr交换律a+b=b+arrrr

4、rrrrr结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)2008年9月2日8理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量的运算•矢量点(标)积：–为一个标量其大小为rbrrdefα=a⋅b=abcosθθrarrrab=e单位矢量rra⋅e=acosθ=aerre⋅a=a=aθcosθerrrae矢量a在e上投影的大小e2008年9月2日9理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量的运算•矢量点(标)积：–为一个标量其大小为rbrrdefα=a⋅b=abcosθθrarrr两矢量

5、正交a⋅b=0brr两矢量并行a⋅b=abrr2ra⋅a=a矢量模的平方arrrr交换律a⋅b=b⋅arrrrrrr分配律a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)2008年9月2日10理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量运算•矢量叉(矢)积：rrrrrrc=a×bc=a×b–为一个矢量rb方向垂直于两矢量构成的平面rrra,b,c(右手法则)θradef大小rrc=absinθa,b构成的平行四边形的面积rrrrrb×arrr两矢量并行a×b=0a×a=0rrrr无交换律a×b=−b×arr

6、rrrrr分配律a×(b+c)=(a×b)+()a×c2008年9月2日11理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/几何矢量运算•矢量积的混合运算rrrrrrrrr两重叉积a×(b×c)=b(a⋅c)−(b⋅a)crrrrrrrrr混合积a⋅(b×c)=c⋅(a×b)=b⋅(c×a)r(rr)V=a⋅b×crrrrrrb×c=sea⋅e=hahr底面积高rceV为四棱柱的体积2008年9月2日r12理论力学CAI数学基础b矢量/矢量、矢量基与基矢量/矢量基与基矢量矢量基与基矢量re3•矢量基：三个相互

7、正交的矢量构成的三维空间•基点：原点OO•基矢量：构成矢量基的三个单位rrr矢量e,e,err123ee12rr⎧1当α=βe⋅e=δδαβ=⎨，α,β=1,2,3αβαβ0≠⎩当αβrrrre⋅e=δ=1e⋅e=δ=011112121rrr⎧+1当α,β,γ依次循环α≠β≠γe×e=εeε=⎨αβαβγγαβγ1,,=1,2,3⎩−其余αβγrrrrrrrr2008年9月2日e×e=εe=ee×e=εe=−e1212333212133313理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/矢量基与基矢量•矢量

8、基的数学描述:三阶矢量列阵rrrbeerrrr33()Te=eee123rbe•不同的矢量基的数学描述：1rre2rbrbrbrbTerrrb矢量基be=(eee)1e1232rr(rrrrrr)T矢量基re=e1e2e32008年9月2日14理论力学CAI数学基础矢量/矢量、矢量基与基矢量/矢量基与基矢量•矢量阵的运算–类同标量阵的运算(将矢量作为元素处理)rrrrrr⎛e1⎞⎛a⋅