3.6 导数与微分在经济学中的简单应用

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1、2010-10-25§3.6导数与微分在经济学中的简单应用一、常见的经济函数1.需求函数与供给函数商品的需求量Q就是价格p的函数，称为需求函数.记为一、常见的经济函数Qfp()或phQ().二、边际分析一般来说，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此需求函数一般是减函数．常见的需求函数有：三、弹性分析k线性函数Qabpab(0,0)；反比函数Q(0kp,0)；p四、经济应用举例kbp幂函数Q(,ak0,p0)；指数函数Qae(,)0abap一、常见的经济函数一、常见的经济函数2.收益函数与成本函数类似地，某商品由于

2、价格不同，生产此种商品的厂商（卖主）若某产品的市场需求量为Q，价格为p，两者所确定的需求函数对市场提供的总供给量（简称商品的供给量）将不同，商品为QfpphQ()或()，则RpQhQQ()称为总收益函数．的供给量Q也是价格p的函数，称为供给函数．记为总成本是工厂为生产一种产品所需的全部费用．通常可把总成本分Qp()为固定成本与变动成本两大类.某产品的产量为Q,总成本为C,一般说来，商品价格越高，生产厂商越愿意提供产品，总成本函数可记为因此供给函数是一个增函数．主要的几种供给函数是：CCQ()总成本函数是一个增函数.总成本函数的图像叫做总成

3、本曲线.总线性函数Qapbab(0,0)；收益R大于总成本C时，就有盈利，其利润为幂函数aQkp(,ak0)LRC指数函数bpQae(,ab0)当R小于C时，就要亏本．二、边际分析二、边际分析边际概念通常指经济变量的变化率．利用导数研究经济变量的边际如果极限变化的方法，即边际分析法．CC()(xxCx)limlimxx00xx1.边际成本存在，则称此极限为产量为x的边际成本，即Cx()称之为边际成本函数.设某企业生产某产品的总成本函数为CCx()一般情况下，产量x的最小变化单位只能为1，即x1，根据边际

4、其中，x是单位时间内的产量，C是由产量x得到的变动成本与固定成本的定义和极限的性质，可得成本之和，如果产量由x增加到xx时，CCxxCx()()总成本的增加量为CCxxCx()()Cx()xxCCxxCx()()此处，是当x0时的无穷小量，当x很小时，此时，总成本的平均增长量为xxCx()(xCx)Cx()x由于变量的最小变化单位为1，则Cx(1)()CxCCx()12010-10-25二、边际分析二、边际分析2.边际收入边际成本的经济意义为：在一定产量x的基础上，再增加

5、生设某厂品的总收入函数为RRx()产1单位产品应增加的总成本.即总成本对产量的变化率.其中x是单位时间内的销量，R是由销量x得到的总收入，当根据边际成本的意义和导数的概念，一般有以下结论：销量x有增量x时，其总收入的平均增长量为（1）边际成本仅与变动成本有关，与固定成本无关．RRx()xRx()xx（2）如果某产品的单价为P，则RRx()xRx()如果limlim存在，则称此极限为销量xxx00xx若CxP()，则企业还可继续增加产量；的边际收入，即R()x称之为边际收入函数.若CxP()，则应立即停止

6、增产，要致力于改进产品质边际收入的经济意义：每增加一单位销量在总收入中增加的数量量，提高出厂价格或降低生产成本．即边际收入为总收入对销量x的变化率．因此R(1xR)()xR()()xRx二、边际分析二、边际分析3.边际利润4.最大利润设L(x)是利润函数，则由总成本、总收入和总利润之间的关令LxRxCx()()()0从而得到R()xCx()系，显然可得L()xRxCx()()Lx()0只是取极值的必要条件，若L()x在此条件下达到最大，应有两边求导得LxRxCx()()()0LxRxCx()

7、()()所以，当RxCxRxCx()()且()()时，利润达到最大，这Lx()称之为边际利润函数.就是最大利润原则.当然，此问题明显存在最值，仅有唯一驻点的情况下，也可以做直接判断．二、边际分析二、边际分析边际成本Cx()0.02x10例1设某厂每月生产的产品固定成本为1000元，生产x个单边际收入Rx()30位产品的可变成本为20.01xx10元，如果每单位产品的售价为边际利润Lx()0.02x2030元，试求：总成本函数，总收入函数，总利润函数，边际令L()xx0得0.02200，x1000.即

8、，当月产量为成本，边际收入及边际利润为零时的产量．1000个单位时，边际利润为零.解总成本为可