导数与微分在经济学中的简单应用(讲课)

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1、导数与微分在经济学中的简单应用.边际二.弹性要求：掌握边际和弹性的定义；给具体问题后会计算边际和弹性；并能够给出相应的经济解释；1.边际分析在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。21.总成本、平均成本、边际成本“总成本”是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表示当产量为x时的总成本。不生产时，x=0，这时C(0)就是固定成本。3“平均成本”是生产

2、每个单位产品的成本，若产量由变化到则：称为C（x)在内的平均成本，它表示成本C（x）在内的平均变化率。把称为“平均成本函数”，表示产量为x时平均单位产品的成本。4例1：设某种商品的成本函数为其中x表示产量（单位：吨），C（x）表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：5如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率为：它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。6表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。当产量为400吨时再减少1吨，即类似的可以计算当产量为40

3、0吨时再增加1吨，即表示在产量为400吨时，再减少1吨产量所减少的成本。7在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位时所增加或减少的总成本。即有如下定义：设总成本函数为C=C(x),且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本，即：8定义：设成本函数C（x）为一可导函数，称为产量是时的边际成本。其经济意义是：若成本函数在区间I内可导，则称为在区间I内的边际成本函数。9例2：已知某商品的成本函数为：求（1）当Q=10时的平均成本；（2）当Q=10时的边际成本并解释其经济意义。解（1）平均成本

4、函数为当Q=10时：10（2）由得边际成本函数为：当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义为：当产量为10时，若增加（减少）一个单位产品，总成本将近似增加（减少）5个单位。112.总收益、平均收益、边际收益“总收益”是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，表示为R(x)，其中x表示为销售量（在以下的讨论中，我们总是假定销售量、产量、需求量均相等）称为平均收益函数，表示销售量为x时“平均收益”。在经济学中，“边际收益”指生产者每增加(减少)销售一个单位产品所增加(减少)的销售收入。按照如上边际成本的讨论，可得如下定义：12定义：设收益函数R(x)

5、为一可导函数，称其经济意义是：为边际收益函数（x在某区间取值）。为销售量量是时的边际收益。13例3.设某产品的需求函数为其中P为价格，x为需求量，求边际收益函数以及x=20、50、70时的边际收益，并解释所得结果的经济意义。解：由题设有：总收益函数为于是边际收益函数为：14经济意义：当销售量为20个单位时，在增加销售量可使总收入增加，多销售一个单位产品，总收益约增加12个单位；当销售量为50个单位时，总收益的变化率为零，增加一个单位的销售量，总收益基本保持不变；当销售量为70单位时，在多销售一个单位产品，反而使总收益约减少8个单位，或者说，再少销

6、售一个单位产品，将使总收益少损失8个单位。153.总利润、平均利润、边际利润“总利润”是指销售x单位产品所得到的全部净收入，即总收益与总成本之差，记为L（x）为总利润，则L（x）=R（x）--C（x）为“平均利润函数”定义：设利润函数L（x）为一可导函数，称为销售量是时的“边际利润”。16其经济意义是：17例4.设某工厂每月生产产品的固定成本为1000元.生产x单位产品的可变成本为0.01x2+10x(元),如果每单位产品的售价30元,试求:边际成本,利润函数,边际利润为零时的产量.解C(x)=0.01x2+10x+1000所以,边际成本函数为总

7、收入函数为总利润函数为：L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2+20x-1000于是,边际利润函数为L'(x)=0.02(1000-x)C'(x)=0.02x+10R(x)=px=30xL'(x)=0.02(1000-x)=0x=100018可见,当月产量为1000个单位时,边际利润为零,说明当月产量为1000个单位时,再多生产一个单位产品也不会增加利润.19前面所谈到的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率.但是仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率还是不够的.例如商品甲每单位价格10元,涨价1元;商品乙每单位价格1000元,也涨价

8、1元.两种商品价格的绝对改变量都是1元,但各与其原价相比,两者涨价的百分比却有很大的不同,商品甲涨了10%,而商品乙涨了0.1%.因此我