数学分析选讲 第五讲

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1、第五讲连续函数基本概念和基本理论一、函数的连续性1.函数的增量设函数f(x)在U(x)内有定义,∀x∈U(x),δ0δ0Δx=x−x,称为自变量在点x的增量.00Δy=f(x)−f(x),称为函数f(x)相应于Δx的增量.0yyy=f(x)y=f(x)ΔyΔyΔxΔx0xx+Δxx0xx+Δxx00002.连续的定义定义1设函数f(x)在U(x)内有定义,如δ0果当自变量的增量Δx趋向于零时,对应的函数的增量Δy也趋向于零,即limΔy=0或Δx→0lim[f(x+Δx)−f(x)]=0,那末就称函数00Δx→0f(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点.00Δx→0

2、就是x→x0,Δy→0就是f(x)→f(x).0定义2设函数f(x)在U(x)内有定义,如果δ0函数f(x)当x→x时的极限存在,且等于它在0点x处的函数值f(x),即limf(x)=f(x)000x→x0那末就称函数f(x)在点x连续.0"ε−δ"定义:∀ε>,0∃δ>,0使当x−x<δ时,0恒有f(x)−f(x)<ε.03.单侧连续若函数f(x)在(a,x]内有定义,且f(x−)0=f(x),000则称f(x)在点x处左连续;0若函数f(x)在[x,b)内有定义,且f(x+)0=f(x),000则称f(x)在点x处右连续.0定理函数f(x)在x处连续⇔是函数f(x

3、)在x00处既左连续又右连续.4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件:0)1(f(x)在点x处有定义;0)2(limf(x)存在;x→x0)3(limf(x)=f(x).0x→x0如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称函数f(x)在点x处不连续(或间断),并称点x为00f(x)的不

4、连续点(或间断点).1.跳跃间断点如果f(x)在点x处左,右极限都0存在,但f(x−)0≠f(x+0),则称点x为函数000f(x)的跳跃间断点.2.可去间断点如果f(x)在点x处的极限存在,0但limf(x)=A≠f(x),或f(x)在点x处无定00x→x0义则称点x为函数f(x)的可去间断点.0注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点函数在点x处的左、右极限都存在.03.第二类间断点如果f(x)在点x处的左、0右极限至少有一个不存在,则称点x为函数0f(x)的第二类间断点.⎧1⎪,x>,0例

5、讨论函数f(x)=⎨x在x=0处的连续性.⎪⎩x,x≤,0y解f0(−)0=,0f0(+)0=+∞,∴x=0为函数的第二类间断点.ox这种情况称为无穷间断点.★狄利克雷函数⎧,1当x是有理数时,y=D(x)=⎨⎩,0当x是无理数时,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.⎧x,当x是有理数时,★f(x)=⎨⎩−x,当x是无理数时,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.三、连续函数的性质1)连续函数的局部性质局部有界性若函数在点连续则在某fx,(fUx)内有界.00局部保号性若函数在点连续且fx,()0fx><(0或),00则对任何正数rfxrfx<<()(或−(

6、)),存在某Ux(),使得对一切000xUxfxrfx∈><()(有)(()或−r)01注在具体应用局部保号性时,常取r=f(x),则(当021f(x)>0时)存在某U(x),使在其内有f(x)>f(x)0002四运算：则若函数fxgx(),()在点处连续x,0fx()则fxgxfxgx()(),()(),±⋅(()0)gx≠0gx()在点处x也连续.0复合函数的连续性：若lim()ϕxa=,函数fu()在xx→0点连续则af,有lim[()]ϕϕx==f()af[lim()].xxx→→00xx2）闭区间上连续函数的性质有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有

7、界.最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.yy=f(x)oaξξbx21根的存在定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)⋅f(b)<0),那末在开区间()a,b内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ