北京邮电大学 数字信号处理 课件 第三章_1

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1、第三章DFT——离散付氏变换第三章DFT——离散付氏变换在前面我们学习了离散信号在两种变换域中的表•DFS和DFT的导出示方法：(1)离散时间傅氏变换；(2)z变换。•DFS和DFT的性质这两种变换有两个共同特征：(1)变换适合于无限•Z变换与DFS的关系长序列；(2)它们是连续变量w或z的函数。•FFT从数值计算的角度看，这些特征是不利的，因为•IDFT要计算无限长序列的无限项和，而且为了使用Matlab，必须截断序列，得到有限个点的序列，•频谱分析因此，它是对精确计算的一种近似。北京邮电大学电信工程学院123.1DFS——离散付氏级数(2)周期信号的付氏级数~x

2、(t)X(nΩ0)(1)连续信号（非周期）的付氏变换tΩTx(t)X(Ω)Ω=2π~0x(t)↔X(nΩ)T0∞tΩ~x(t)=∑X(nΩ)ejnΩ0t,Ω=2π00n=−∞Tx(t)↔X(Ω),t↔ΩT2X(nΩ)=1~x(t)e−jnΩ0tdt0∫−T2T1∞∞−jΩtjΩtX(Ω)=x(t)edtx(t)=2π∫−∞X(Ω)edΩ∫−∞可以看成：将（1）频域中X(Ω)以Ω0取样，结果在时域中信号x(t)周期性重复，得到（2）的情况，北京邮电大学电信工程学院即：时域周期Æ频域离散。3（3）离散信号（非周期的）付氏变换(DTFT)x(nT)X(ejΩT)ΩT结论：

3、2ππT时域中函数取样Æ（映射）频域中函数周期重复；x(nT)=TTX(ejΩT)ejnΩTdΩ∫−π频域中函数取样Æ（映射）时域中函数周期重复；2πT∞2πX(ejΩT)=∑x(nT)e−jnΩT取样间隔Æ（映射）周期（）间隔n=−∞可以看成：将（1）时域中函数x(t)以T取样，2π结果，在频域中函数X(Ω)以Ω0=周期性重复，T即：时域离散Æ频域周期。北京邮电大学电信工程学院613.1DFS（离散付氏级数）DFS（离散付氏级数）周期离散序列1.DFS正变换~~x(n)=x(n+Nm),m为整数~x(nT)↔(DFS)X~(kΩ)因为周期信号不是绝对可和的，不能用

4、z变换来表为了推导10的关系，作下列示，其Z变换不收敛变量代换：∞~−n∑x(n)z→∞时域：nT1→nn=−∞频域：kΩ→k为此，定义新函数，其Z变换：0N−1N−1X(z)=~x(n)z−njω~−jnω∑X(z)

5、z=ejω=X(e)=∑x(n)en=0n=0北京邮电大学电信工程学院北京邮电大学电信工程学院78N−12πN−1~~−j()kn~knDFS（离散付氏级数）则：X(k)=∑x(n)eN=∑x(n)WNn=0n=0Im2π2π−jkn−jn(k+N)对于频域取样：QeN=eN随K做周期性变化，其中仅有2π2πk2π~单位圆分为N等分，每份为。N1N0

6、，1，…，N-1个独立值，而x(n)仅有0，1，…，NR2πeN-1个独立值，即以为间隔进行等间隔采样。NN−1−j(2π)(k+N)nN−1−j(2π)kn2πZ平面X~(k+N)=~x(n)eN=~x(n)eNe−j2πn称为频域中的采样间隔，∑∑Nn=0n=0也称为频率分辨率。−j2πN−12π−j()kn~W=eN=~x(n)eN=X(k)N∑~n=0X(Z)

7、−k=X(k)z=WN~∴X(k)也仅有0，1，…，N-1个独立值。北京邮电大学电信工程学院9反变换（IDFS）反变换（IDFS）1N−1~j(2π)kn1N−1~N−1j(2π)k(m−n)~x(n

8、)=∑X(k)eN=∑X(k)W−kn研究∑eN,m,n=0,1,L,N−1NNk=0Nk=0k=0N−12π~N−1j()k(m−n)⎧Nn=m证明：~kn因为∑eN=⎨X(k)=∑x(n)WN0n≠mn=0k=0⎩N−12π2π~j()km~~jkm得∑X(k)eN=∑x(n)N=Nx(m),m=0,1,2,L,N−1将上式两端乘以eN，m=0，1，…，N-1，然后令k=0，k=0n=m1，…，N-1求和，得：只有m=n时才有值，m不等于n时为零，因此x(n)只取x(m)。N−12πN−1N−12πN−1N−12π~j()km~j()k(m−n)~⎡j()k(m

9、−n)⎤2πX(k)eN=x(n)eN=x(n)eN即1N−1~j()kn1N−1~∑∑∑∑⎢∑⎥：~x(n)=X(k)eN=X(k)W−knk=0k=0n=0n=0⎣k=0⎦∑∑NNk=0Nk=0北京邮电大学电信工程学院北京邮电大学电信工程学院11122DFS（离散付氏级数）频率成分所以：一对DFS的表达式：(1)DTFT产生连续频谱，这意味着频谱在所有的频率处都有值，因而非周期信号的幅⎧~N−1X(k)=∑~x(n)Wkn度和相位频谱是光滑无间断的曲线。⎪N⎪2πn=0−j(2)DFS仅有N点的频谱，仅包含有限个频率，⎨1N−1~W=eN⎪~−knNx(n)