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1、3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)傅里叶变换的几种可能形式：1、连续时间、连续频率－傅里叶变换(CTFT)2、连续时间、离散频率－傅里叶级数(FS)3、离散时间、连续频率－序列的傅里叶变换(DTFT)4、离散时间、离散频率－离散傅里叶变换(DFT)四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散3.1离散傅里叶变换的定义一、DFT的定义设x(n)是一个长度为M的
2、有限长序列，则定义x(n)的N（N≥M）点离散傅里叶变换为：X(k)的离散傅里叶逆变换为：式中，，称为旋转因子。N称为DFT变换区间长度（N≥M）。例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。解：设变换区间N=8，则设变换区间N=16，则二、DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式图3.1.1X(k)与X(ejω)的关系三、DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于旋转因子的周期性，使X(k)和x(n)隐含周期性，
3、且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数所以(3.1.1)式中，X(k)满足同理可证明(3.1.2)式中x(n+mN)=x(n)实际上，任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即为了以后叙述方便，将(3.1.5)式用如下形式表示：图3.1.2有限长序列及其周期延拓式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数，则((n))N=n1例如，则有所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。
4、四、DFT和DFS之间的关系如果x(n)的长度为N，且(n)=x((n))N，则可写出(n)的离散傅里叶级数表示为(3.1.8)(3.1.9)式中(3.1.10)3.2离散傅里叶变换的基本性质一、线性性质如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，取N=max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1。其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。二、循环移位性质
5、1.序列的循环移位设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(n)(3.2.2)过程：（1）x(n)周期化；（2）左移m位；（3）取主值。例：x(n)={6,5,4,3,2,1},求y(n)=x((n+2))6R6(n)。解：y(n)={4,3,2,1,6,5}图3.2.1循环移位过程示意图2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即y(n)=x((n+m))NRN(n)则Y(k)=DFT［y(n)］=W-kmNX(k)(3.2.3)其中
6、X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。证明：令n+m=n′，则有由于上式中求和项x((n′))NWkn′N以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区则得3.频域循环移位定理如果X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1Y(k)=X((k+l))NRN(k)则y(n)=IDFT［Y(k)］=WnlNx(n)(3.2.4)三、循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFT［x1(n)］
7、X2(k)=DFT［x2(n)］如果X(k)=X1(k)·X2(k)则(3.2.5)由于所以即循环卷积亦满足交换律。频域循环卷积定理：如果x(n)=x1(n)x2(n)则(3.2.6)X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］0≤k≤N-1循环卷积的过程：（1）变量代换：n－－>m，得到序列x1(m)和x2(m)（2）将x2(m)周期化，翻转，取主值，得到（3）将（2）中得到的序列循环移位n，得到（4）将x1(m)和（3）中得到的序列相乘，并对m求和。例：x1(n)={1,1,1,1,0,0,0,0}x
8、2(n)={0,0,1,1,1,1,0,0},求x1(n)和x2(n)的8点循环卷积。解：（1）x1(n)x1(m),x2(n)x2(m),x1(m)保持不动。（2）＝{0,0,0,1,1,1,1,0}(3)n=0,={0,0,0,1,1,1,1,0},x(0)
