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1、第三章非線性微分方程與動態系統第一節非線性微分方程與動態系統非線性系統的研究最早可回溯自物理學中的流體力學，之後被應用至生物學與生態學，探討某個地區的生態平衡，本文因此也計畫使用非線性微分方程動態模型，希望能為人口學提供不同的思考角度。在套用這個方法時，將不事先設定模型的型態，而是著重在目標的研究對象(subject)在不同時間的變化，再由微分方程對此變化的描述求解並建立非線性模型。雖然人口的變化必須兼顧出生、死亡與遷移，我們先簡化研究範圍，只探討出生與死亡的情形，將研究心得及結果政治大作為未來建立完整模型的參考。立如果研究的對象（例如：生育率、死亡率）記為u(t)，一
2、般的非線性微分方學國程問題可表達為：‧du‧=ft,(u)，dtN也就是u(t)對時間微分後是一個時間與au(t)的函數，通常會給定一個yu(t)的初始ttiis條件(initialcondition)uo)0(=u。許多傳統的人口模型，都可視為一個微分方程，0rnea例如：以羅吉斯函數刻劃人口數。livCnheUngchi10第二節非線性微分方程二次逼近法求解在第二章所介紹的羅吉斯成長模型，可以看出羅吉斯函數的微分方程式求解比較容易，因為函數有封閉解(closed-formsolution)，然而實際問題的解通常無法由函數表示，即使可表為函數型態，經常都是非線性函數。
3、若方程式的解屬於非線性函數，一般的處理方法是以一次（線性）函數近似，但通常只有在某些情形（例如：求解的點接近某些已知的時間）有不錯的近似值，很難保證有較一般化的結果。本文提出「二次逼近法」求解，亦即加入二次式，以期獲得較佳的近似結果：dv(t)2=A(t)(v(t)−u)+B(t)(v(t)−u)+C(t),)v(t)=u(t(1)0000dt求解過程在以下逐步說明。若微分方程滿足⎧dv(t)2⎪=Av(t)+Bv(t)+C,⎨dt，(2)⎪v(t)=v,v(t)=v,v(t)=v,t≤t≤t⎩00112201由於其中v(t)的大小順序與時間t不見得一致，當大小順序相反
4、時，對時間的積分要變號，因此必須依照時間分段計算，我們在求解的過程中應該分不同情況討論，共有六種情形如下：v≤v≤v、v≤v≤v、012021v≤v≤v、v≤v≤v、102120v≤v≤v、v≤v≤v，2012102另外再加上二次方程式的判別式δ=B−4AC有大於零、等於零、小於零三種情況，我們可以整理出結果如下：12令二次方程式的兩個根由小至大為x與x，則第一種情形的結果如下：I.v≤v≤v：012111.δ>0：1δ1v(t)=x+2Av0−x(x2−x1)A(t−t)1−e01v−x02.δ=0：111v(t)=x−−11−1At−t−A(v−x)003.δ<0：
5、Bv+B0−δ−12Av(t)=−+ktan(Ak(t−t)+tan)，k=02Ak2AII.v≤v≤v：0211.δ>0：1δ1v(t)=x+，t∈[t,t]201Av0−x(x2−x1)A(t−t)1−e01v−x01δ1v(t)=x+，t∈[t,t]212Av0−x−(x2−x1)A(t−t)1−e11v−x02.δ=0：111v(t)=x−，t∈[t,t]−11−101At−t−A(v−x)00111v(t)=x+，t∈[t,t]−11−112At−t+A(v−x)113.δ<0：Bv+B0−δ−12Av(t)=−+ktan(Ak(t−t)+tan)，k=，t∈
6、[t,t]0012Ak2ABv+B1−δ−12Av(t)=−+ktan(−Ak(t−t)+tan)，k=，t∈[t,t]1122Ak2AIII.v≤v≤v：1021.δ>0：121δ1v(t)=x+，t∈[t,t]201Av0−x−(x2−x1)A(t−t)1−e01v−x01δ1v(t)=x+，t∈[t,t]212Av0−x(x2−x1)A(t−t)1−e11v−x02.δ=0：111v(t)=x+，t∈[t,t]−11−101At−t+A(v−x)00111v(t)=x−，t∈[t,t]−11−112At−t−A(v−x)113.δ<0：Bv+B0−δ−12Av(t
7、)=−+ktan(−Ak(t−t)+tan)，k=，t∈[t,t]0012Ak2ABv+B1−δ−12Av(t)=−+ktan(Ak(t−t)+tan)，k=，t∈[t,t]1122Ak2AIV.v≤v≤v：1201.δ>0：1δ1v(t)=x+，t∈[t,t]201Av0−x−(x2−x1)A(t−t)1−e01v−x01δ1v(t)=x+，t∈[t,t]212Av0−x(x2−x1)A(t−t)1−e11v−x02.δ=0：111v(t)=x+，t∈[t,t]−11−101At−t+A(v−x)00111v(t)=x−，t∈[t,t]
