郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案

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1、郑州大学2013—2014学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案郑州大学2013—2014学年度第一学期期末考试微积分试卷考试时间：2小时考试方式：闭卷复查总分总复查人一、求解下列各题（每题5分，共50分）得分1．求极限limarctanxx＝1评卷人x21arctanx221x2x【解】limarctanxxlimlimlim21.x2x1x1x1x2xxx2．设函数y，求它在x0处的导数和微分.2x12x1.x1x.21x1解：y；232

2、2x1x11dyydxdx.32x1所以，y01，dy

3、dx.x02yt2xdy3．已知edtcostdt，求.00dx【解】方程两边关于x求导得y222eycosxx.即第1页郑州大学2013—2014学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案22yy2xcosxe.xsint,4.设曲线方程为①求曲线在点t处的切线方程.ycos2t.4【解法一】dydx因2sin2t；cost.dtdtdydydx2sin2t故4sint.dxdtdtacost22当t时，由①式算得x,y

4、0，因此切点坐标为,0，422又曲线在点t处的切线的斜率为4dy2k

5、422.dxt24所以，曲线在点t处的切线方程为42y022x.2【解法二】由①式消参得22y12sint12x，即2y12x.①22当t时，由①式算得x,y0，因此切点坐标为,0；4222又曲线在点,0处的切线的斜率为2dy2k

6、24x

7、2422.dxxx222第2页郑州大学2013—2014学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案所以，曲线在点t处的切线方程为4

8、2y022x.215.求dx.x1ex1e1xx【解法一】dxdxd1eln1eC；xxx1e1e1exx11ee1xx【解法二】dxdxdxd1exln1eC；xxx1e1e1ex1【解法三】令et，即xlnt，dxdt，则t1111111dx.dtdtdtd1tx1e1ttt1tt1txelntln1tClnC；x1ex212【解法四】令etant，即x2lntant，dx2sectdt，

9、则tantxx1eedx2cottdt2lnsintC2lnClnC.xxx1e1e1e1lnx6.求dx.2xlnx1lnx121【解】dx.1lnxdxxlnxdxlnxC.22xlnxxlnxxlnx7.求2sin3xdx.032!!2【解法一】2sinxdx；03!!3第3页郑州大学2013—2014学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案【解法二】2sin3xdx21cos2xdcosx1cos3xcosx

10、22.00033118.求

11、lndx.01x【解】原积分即为111ln1xdx（令t1x）lntdtlnxdx.000因为limlnx，所以上述积分为广义积分.x0110lnxdxlim00lnxdxlimln11.01ln其中limlnlimlimlim0.001010239.求解微分方程yyy.①dp【解】①为可降阶的高阶微分方程.令ypy，则yp，dy①可化为dp3pppdy即dp2pp10.②dy当p0时，由②式得

12、到dp2p1.③dy③为可分离变量型，由③得到1dpdy21p即第4页郑州大学2013—2014学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案arctanpyC，故有ptanyC，也就是11dytanyC.④1dx④为可分离变量型，由④得到1dydxtanyC1即lnsinyCxlnC12化简得xsinyCCe12为①的通解.又注意到当p0时，当y0时，可得①的平凡解yC.xx10.求方程y2yy