2011级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案

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1、周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案2011—2012学年度第一学期《微积分（一）》期末考试试卷（A卷）题号一二三四五总分满分253028107得分共8页21题考试时间：2小时30分钟考试方式：闭卷得分评卷人复查总分总复查人一、求解下列各题（每题5分，共25分）1．求极限.解：（等价替换）2．求的导数.解：.3．求的导数.解：因为，第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案故.4.计算下面参数方程所确定的函数的二阶导数：解：（一）；.故（二）5.求由方程①

2、所确定的隐函数在处的微分.解：方程①两边关于求导得：②将代入①式算得.将、代入②式算得，所以得分评卷人二、求解下列各题（每题6分，共30分）1．设函数时，讨论在处的连续性.解：（一）第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案当时，；当时，故（二）因为，所以，在处连续.2.计算积分.解：3.计算积分.第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案解法一：解法二：令，即，4.计算积分.解：.5.证明方程在内有且仅有一个根..证明：（一

3、）令，则显然在上连续.又，故由闭区间上连续函数的根值定理知，方程在内至少有一个实根.即方程在内至少有一个根.（二）又因为当时，有，因此在上严格单调增加，因此方程在内至多有一个根.综合（一）、（二）知，方程在内有且仅有一个根.得分评卷人三、求解下列各题（每题7分，共28分）1．已知①，计算解法一：（分部积分法）（由①）第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案解法二：（分部积分法，并注意到）得分评卷人2．设.①求解：因为，所以有，即，故，所以得分评卷人3．将函数展开成幂级数.解：第10页高等数学（下

4、）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案①.又，故.②因此.得分评卷人4.由直线及围成曲边三角形.在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与两直角边围成的三角形面积最大.解：（一）在曲边上任取一点，则曲线在该点处切线斜率为.从而曲线在该点处切线方程为①①中令，解得；令，解得②所以曲线在该点处的切线与两直角边围成的三角形面积为③（二）令，④得（舍）或者第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案又因为，，所以当时，取到最大值.即所求点为.得分评卷人四、

5、（本题满分10分）在一高为4的椭圆底柱形容器里储满某液体，并将容器水平放置，如果椭圆方程为（单位：米），问：（1）液面在时，容器内液体的体积与的关系表达式是什么？（2）如果容器内储满了液体后以每分钟0.16立方米的速率将液体从容器顶端抽出，当液面在时，液面下降的速率是每分钟多少米？（3）如果液体的密度为每立方米1吨，抽完全部液体需要做多少功？解：（1）垂直于轴高为的液面的面积为.利用平行截面面积已知的立体的体积的计算公式知，液面在时，容器内液体的体积与的关系表达式为：..①（2）①两端关于求导得第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学

6、期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案.②将，代入②式得：，故.所以当液面在时，液面下降的速率是每分钟米.（3）取液面深度为积分变量，它的变化区间为.相应于上任一小区间的一薄层水的高度为.则这层水的体积近似为.故把这层水抽出容器外需要做的功近似为.③其中为重力加速度；.所以功元素即为.④（吨米）.即（焦耳）.得分评卷人五、（本题满分7分）.称函数在区间内为下凸函数，是指对于内任意两点和，都有.证明以下定理：若函数在区间内有二阶导数，且恒有，则在区间内为下凸函数.第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其

7、参考答案证法一：取内任意两点和，由拉格朗日中值定理：..其中，，.由于恒有，故为增函数，，因而，即.证法二：取内任意两点和.记，对分别在区间用拉氏定理：，①，②②—①，得：.③对在区间再用拉氏定理：④第10页高等数学（下）理工，共5页，周世国之：2011—2012学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案其中.所以，，即：，所以.第10页高等数学（下）理工，共5页，