3.2 实数的完备性(2013)

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1、3.2实数的连续性关于实数完备性的基本定理确界原理、数列的单调有界定理、柯西收敛准则，这三个命题以不同的方式反映了实数集R的一种特性，称为实数的连续性或实数的完备性。有理数集就不具有这种特性。12.1S{x

2、x,2xQ},supS,2infS,2即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。1n.2{(1)}是单调有界有理数列，但其极限是无理数e.n即数列的单调有界定理在有理数域不成立。1n.3{(1)}也是满足Cauchy条件的有理数列，n但其极限是无理数e.即柯西收敛准则在有理数域不成立。2本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套

3、定理、聚点定理和有限覆盖定理，还将说明这六个基本定理的等价性。一、区间套定理定义1设闭区间列{[]}a,b具有如下性质：nn(i)[an,bn][an1,bn1],n,2,1.[[[[·]]]](ii)lim(ba)0nnna1aabbb23321则称{[an,bn]}为闭区间套，或简称区间套.aaabbb12nn213单调有界原理区间套定理定理1（区间套定理）若{}[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使[a,b]n,2,1.nn且limablim.nnnn证:（存在性）由

4、条件(i){an}为递增有界数列，依单调有界原理，{an}有极限，且an,n,2,1递减有界数列{bn}也有极限，并按区间套的条件(ii)有limanlimbn且anbn,n,2,1nn4证:（唯一性）即证明是唯一的.若，满足anbn则

5、

6、bnan,lim

7、

8、lim(ba),0nnnn.推论若[an,bn],n,2,1是区间套{[an,bn]}所确定的点,则0，N,0nN,有[a,b]U(,).nn([[]])abnn5区间

9、套定理主要用于存在性问题的研究.用区间套证题通常分为三个步骤：(1)分析所要证明存在的点满足的所谓“邻域性质”，由此构造区间套（这一步往往是技术性的,有一定的难度）；(2)由区间套定理,确认点的存在性（关键的一步）；(3)验证所得到的点就是所要找的点.6例1.用区间套定理证明零点定理.（零点定理）设fCab[,],且fafb()()0,则存在(,),ab使得f().0证:不妨设fa()0,()0.fb规定:若函数f(x)在区间I左端点的值小于零,右端点的值大于零,则称函数f(x)在区间I上具有性质P.取[,][,],abab则[,]ab具

10、有性质P.1111设[,]ab的中点为c.11若fc()0,定理得证。（以下总设在中分点处的值都不为零）。若fc()0,则取[,][,],ab22cb1否则取[,][,],ab22ac1则[,]ab具有性质P.227设[,]abnn11具有性质P,仿上述构造方法，可得到[,]abnn具有性质P.由归纳法，得闭区间套：[,](1abnnn,2,),具有性质P,且ba1）[,][,](1abnnabnn11n,2,);2）lim(bann)limn10.nn2由闭区间套定理，存在唯一的一点ξ，使anbn且lima

11、bnnlim.nn再由函数f(x)的连续性及归结原则,有lim(fa)f()0,lim()fbf()0.nnnn故f().0例3.2.1.用区间套定理证明确界原理.（自看）8例2.用区间套定理证明“数列的柯西收敛准则”.定理8.1.2（Cauchy收敛准则）:{a}收敛0,N0,m,nN,有aa.nnm证:(必要性)设limanA,则对,0N,0n对m,nN,有anA2/及amA/.2

12、aa

13、

14、aA

15、

16、aA

17、2/2/.nmnm(充分性)

18、,0N,nN,有aa.nN即在区间[aN,aN]内含有{an}中除有限项外所有的项，写作“几乎所有的项”9{a}收敛,0N,m,nN,有aa.nnm[充分性],0N,0nN,有aa.nN即在区间[aN,aN]内含有{an}中几乎外所有的项.111令,N,在[a,a]内含{a}几乎所有项，21N12N12n11记[，][a,a],11N12N12111令,N,在[a,a]内含{a}几乎所有项，22N22N22n22211记[，][a,a][，],2

19、2N222N22211则[，]也含{a}几乎所有