数值计算1new

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1、电力教研室数值计算方法梁海峰教一楼304室E-mail：hfliang@ncepu.edu.cn数值计算方法数值计算方法（数值分析、计算方法）是应用数学的分支。数值计算方法是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。开设这个课的目的意义应用计算机解决科学问题的过程选用数值计算方法提出实际问题建立数学模型程序设计上机计算开设这个课的目的意义本课程只是涉及数值计算方法中的一小部分。但是，一方面它们本身是一些最基础的算法，是进行科学计算必不可缺少的起码常识；更为重

2、要的是通过对它们的讨论，能够使人们掌握设计数值算法的基本方法和一般原理，为在计算机上解决科学计算问题打下基础。因此，计算方法已经成为工科大学生必修课程。如何学好本课程？1.认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应“公式多”的特点；2.注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基本提法，逐步深入；3.理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本线索，对最基本的算法要非常熟悉；4.认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是为用于实际计算，必须真会算。课程的主要内容第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值

3、解法第三章线性代数方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分和数值微分第六章常微分方程初值问题的数值解法主要参考书目《应用数值方法》王新民等编，吉林教育出版社《计算方法引论》徐萃薇编，高等教育出版社《数值方法（MATLAB版）》（第三版）马蒂尔达（JohnH.Mathews），芬克（KurtisD.Fink）著，电子工业出版社考试方式闭卷第一章数值计算方法与误差分析一、数值计算方法二、误差的来源三、近似数的误差表示法四、数值运算误差分析五、减小运算误差若干原则第一章数值计算方法与误差分析要求1.了解误差分析的基本

4、意义及其重要性。2.知道产生误差的主要来源。3.掌握误差的基本概念：绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数字等。4.了解数值计算中应注意的几条原则。第一章数值计算方法与误差分析一、特点1.面向计算机，根据计算机要求设计算法2.有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，保证算法的收敛性和数值稳定性3.有好的计算复杂性，算法的计算复杂性包括空间复杂度（所占用的存储空间）和时间复杂度（运算次数）第一章数值计算方法与误差分析二、误差的来源1.模型误差（描述误差）：建立的数学模型和实际事物的距离差异。2.观测误差（测

5、量误差）：观测值和真值之间的差异。3.截断误差（方法误差）：数值算法求得的准确解与模型的准确解之间的差异。4.舍入误差（计算误差）：参加运算的数据和实际的数据之间的差异。第一章数值计算方法与误差分析三、近似数的误差表示法1.绝对误差定义：设x*是准确值x的一个近似值，定义e(x*)=x-x*为近似值x*的绝对误差，简记e*。一般情况下e*是未知的。第一章数值计算方法与误差分析三、近似数的误差表示法绝对误差限x*为近似值，x为准确值，如果存在一个正数ε，有

6、e*

7、=

8、x-x*

9、≤ε(x*)则ε(x*)称为x*的绝对误差限，

10、简称误差、误差限、绝对误差或精度，简记为ε*或ε。或表示为x∈[x*-ε,x*+ε]或x=x*±ε第一章数值计算方法与误差分析三、近似数的误差表示法2.相对误差绝对误差不能比较不同条件下的精度，因此引入相对误差定义：设x*是准确值x的一个近似值，**ee*e=≈则定义r称为x*的相对误差。xx*第一章数值计算方法与误差分析三、近似数的误差表示法同样：定义**eε**e≈≤=εr*rxx*为相对误差限。由此我们可以看出：相对误差限和绝对误差限可以相互求得。第一章数值计算方法与误差分析三、近似数的误差表示法有效数字：由绝对误

11、差决定。xm定义:设的近似值x*=±0.xxLx×10，12n1m−n若x*的绝对误差x-x*≤×102则称近似值x*为x的有n位有效数字的近似值。其中xx12,,L,xn是x**的有效数字。近似值x具有n位有效数字，它准确到第n位。第一章数值计算方法与误差分析四、数值运算误差分析当自变量有误差时，一般来说，相应的函数值也会产生误差。可以采用函数的泰勒级数展开来分析设一元函数f(x)，自变量x的近似值x∗，f(x)的近似值f(x∗)，其误差限记为ε[f(x∗)]。∗∗∗f′′(ξ)∗2∗f(x)=f(x)+f′(x)(x

12、−x)+(x−x)ξ介于x,x之间2∗∗∗f′′(ξ)∗2∗f(x)－f(x)≤f′(x)ε+(ε)忽略ε的高次项2∗∗∗绝对误差限ε[f(x)]≈

13、f′(x)

14、ε∗∗f′(x)∗相对误差限ε[f(x)]≈εr∗f(x)第一章数值计算方法与误差分析四、数值运算误差分析同样，可得多元函数y=f(x,x,…,x)的误差限