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《高一数学下空间向量其运算解析附标准答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高一数学下第5章《空间向量及其运算》解析及答案巩固基础一、自主梳理1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广.2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是:存在唯一的实数对x、y,使p=xa+yb.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3.空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序数组x、y、z,使p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,a、b、c叫做基向量,(x,y,z
2、)叫做p关于基底{a,b,c}的坐标.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。4.把
3、a
4、
5、b
6、cos〈a,b〉叫做向量a、b的数量积,记作a·b,即a·b=
7、a
8、·
9、b
10、cos〈a,b〉,其性质有:残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(1)a⊥ba·b=0;(2)cos〈a,b〉=(a、b均为非零向量);(3)a2=a·a=
11、a
12、2;(4)
13、a·b
14、≤
15、a
16、·
17、b
18、.二、点击双基1.在以下四个式子中正确的有()a+b·ca·(b·c)a(b·c)
19、a·b
20、=
21、a
22、
23、b
24、A.1个B.2个C.3个D.0个解析:根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积,故a·(b·c)错，
25、a
26、·b
27、=
28、a
29、
30、b
31、
32、cos〈a,b〉
33、，只有a(b·c)正确.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。答案:A2.设向量a、b、c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是()A.{a+b,b-a,a}B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c}D.{a+b+c,a+b,c}解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C。3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,向量、、是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析:∵-==,∴、、共面.答案:C4.已知a=(1，0)，b=(m,m)(m＞0),则〈a,b〉=_
34、___________________.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。答案:45°5.已知四边形ABCD中，=a-2c，=5a+6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_______________.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解析:∵=++,又=++，两式相加，得2=(+)+(+)+(+).∵E是AC的中点，故+=0.同理,+=0.∴2=+=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.∴=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c训练思维【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使
35、得=x+y+z.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。剖析:要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件,自然想到共面向量定理.解:依题意知,B、C、D三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点A、B、C、D共面对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得=+x1+y1茕桢广鳓鯡选块网羈泪。=+x1(-)+y1(-)=(1-x1-y1)+x1+y1,取x=1-x1-y1,y=x1,z=y1,则有=x+y+z,且x+y+z=1.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。链接·提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)
36、面的充要条件,可用以证明点共(线)面.本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【例2】已知空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,用向量法证明BD⊥AC.剖析:我们选择一组基向量,将目标向量用基向量线性表示,从而将向量的运算转化为三个基向量间的运算.证明:设AB=b,AC=c,AD=d,且b2=d2,(b-c)2=(d-c)2,∴b·c=d·c.而·=(d-b)·c=d·c-b·c=0,∴BD⊥AC.讲评:合理选择基向量是利用向量解题的基本技能之一,同学们在学习中应加强这方面的训练.【例3】在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝
37、90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解:如图，因为∠ACD＝90°,所以·＝0.同理,·＝0.因为AB与CD成60°角,所以〈，〉＝60°或120°.因为＝＋＋,所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝2＋2＋2＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉＝所以｜｜＝2或,即B、D间的距离为2或.【例4】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：(1)BD1⊥平面ACB1；(2)BE=ED1.证明:(1)我们先证明BD1⊥AC.
