用勾股定理探求几何体中的最值问题

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1、用勾股定理探求几何体中的最值问题探求最值是初中数学中的一种常见题型，而用勾股定理求立体图形中的最值，是近年来中考的热点问题之一．对这类问题，我们应该学会分析、观察图形，从中找出解题途径．一般地，在求最短距离时要把立体图形转化为平面图形，再利用“两点之间，线段最短”或点到直线“垂线段最短”，以及“勾股定理”等性质来解决．现举例如下．一、圆柱(锥)中的最值问题例1有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面lm的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少?分析由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱侧面展开成平面图形．根据“两点之间线段最

2、短”，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽lm处和长24m的中点处，即AB长为最短路线．(如图1)解AC=6-1=5，BC=24×=12．由勾股定理得AB2=AC2+BC2=52×122=169，∴AB=13(m)．二、正方体中的最值问题例2如图2，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是()．A．3B．C．2D．1分析由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形(如图2)，AB即为所求．解可知AC=1，BC=2．-3-由勾股定理得AB2=AC2+BC2=12×22=5，∴AB=．故选B三、长方体中的最

3、值问题例3如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是()．A．5B．25C．10+5D．35分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离．可以通过计算得知最短的是第2条．解依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，有如图4所示的4种粗线情形．其中图4①中粗线的长度为=5，图②中粗线的长度为=25，图4③中粗线的长度为+5=10+5，图④中粗线的长度为的5+20+10=35．显然3

4、5>5>10+5>25．故应选B．四、台阶中的最值问题例4如图5，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5dm，3dm和1dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少?分析由于蚂蚁沿台阶爬行，故把台阶展成平面图形，根据两点之间线段最短发现AB长为最短线路，根据勾股定理即可求得．-3-解如图5，∵BC=3×3+3×l=12，AC=5，∴由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=169，∴AB=13dm．说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面

5、图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以有时要分情况讨论．-3-