牛志蕾-线性代数（人大第四版）线性代数b模拟题及答案

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1、2016年第二学期线性代数B模拟考试试卷解答一、填空题(每空3分，共计30分)1、设为3阶方阵，且

2、A

3、=-1,

4、B

5、=2则行列式

6、2(AB_)l二-42、设0

7、,闵，。3，01，02均为4维列向量,且矩阵人=(0,羽,购，01)，8=(0,02，02，。3)，11X2x24x385、设D(x)=13927141664则D(x)=0的全部根为2,3,4C=(他,的，0，A+02)，如果IA1=1,1B

8、=2，则行列式

9、C

10、=]_12-23、已知矩阵A=4t3的列向量线性相关，则t=-3_3-1112344、设D=1012,求A】+A

11、2+A3+A4二-1•00-10120-16、设向量a-(l,6z,Z?)r与向量©=(2,2,2)7,a2-(3,1,3)，都正交，则a-0,b=-17、已知3阶矩阵A的特征值是1,2,3,则A'1的三个特征值为1,-,-238、存在加阶可逆矩阵P与/?阶可逆短阵0,使得A=PBQ,这是mxn矩阵A与B等价的充分必要条件10.,7阶矩阵A可对角化的充分必要条件是_A力5个线性无关的特征向最.二、选择题(每题3分，共15分)2x{_兀2+兀3=0

12、+兀2+兀3=°有非零解，则£必须满足(C

13、)•(A)k=4(B)k=-l(C)£二4或比=一1(D)£北4且£工一12.设A，5X为同阶矩阵，且可逆，则卜•列结论错误的是(£>).(A)若AX二3,则X="B(B)若XA=B,则X=B/T】3.向量组如“2,…，久(s»2)线性相关的充分必要条件是(c).(A)如…，&屮至少有一个零向量(B)“，5,…,乞中任意一个向量可由其余向量线性表示(C)0,a，…,乞中至少有一个向量可由其余向量线性表示(D)0,偽,…,化中任意一个部分组线性相关4.已知三阶矩阵4的特征值为一2丄3，则下列矩阵中非奇片矩阵是(A).(A)21-A(B

14、)21+A(C)I-A(D)A-3/5.从矩阵关系式C=AB可知C的列向量组是(A)(B)B的列向量组的线性组合(D)B的行向量组的线性组合(A)A的列向量组的线性组合(C)A的行向量组的线性组合三、计算题(每题8分，共40分)12…221•••21.计算n阶行列式....••••••••22…1解:“22•=(-l)n-,(2n-l)2-1020-11+2+2+・・・+2-102-1020-1200■-1011、rio)已知AX二B+2X,其中4二031,B=02<0°3丿-1I/2、解矩阵方程解：因为AX=B+2X,所以求矩阵

15、X(A-2E)X=B,H

16、A-2E

17、=1^0,于是111~一1■10~1-10_■1010-2"X=(A-2E)~GH1时，方程组无解；a=l时，因为r(A)=r(A,/?)=2<4,所以方程组有无穷多解。取忑，兀为自由未知量，令-^3=0,兀4=0得方程组的一个特解x0=(-l,-1,0,0/；令自由未知量为x3=l,x4=0,得其导出组基础解系中的一个解旺=(5,4,1,。)’’，令自由未知量为忑=0,“=1，得更导出组基础解系中的另一个解勺=(1,0,0,1)卩，所以方程组的通解为x=x0+如+g=(-1,-1,0,0)7+&

18、(5,4,1,0)7+匕(1,0,0,lf其中你妬为任意常数。4、已知向量组$二［12,-1,一2,2］卩,。2=［4,1,2,1,3］丁,购=25,4,—1,0「禺二［1,1,1,1,g卩(1)证明向量组apa2,a3,a4线性相关;(2)求向量组a^a2.a3,a4的一个极大线性无关组；将英余向量表示成此极大线性无关组的线性组合。B=01102=01-102—11001-11001-11-11组苗解？并用导出组的基础解系表示其全部解.解：记系数矩阵为力j-23-1:r'1-23-1:1(A,Z>)=3-55-3:2—>01-4o

19、:-12-32-2:a01-40:a-2「1-23-1!1「10-5-1:-1~T01-40；-1T01-4o:-10000；a-000:d—3、当a为何值时方程纽无解？当a为何值时方程已知方程纽<3x}-5x2+5尽一3“=2a2^41491-2151-1241T-21_112301一3-a25订14210331T00・2000300000_a2G3叮14010101亍T001000000000解：0100001000a24969-5所以2963-4a41323--23%10000a24333-15a32331-121-5%

20、a2ay^44142114010331—>0301001000100000000000000000%aya2^4_]_~3亍000r(A)=3<4,向量组q,如a3，°4线性相关；r{a^a^a^a^=3,所以aA,a2,a3是向量组