工程数学-积分变换（张元林）课后习题讲解1-4

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1、1-41•证明下列各式：2〉Z(/)»［犬⑴时3")］=［/；⑴时2")］咗M)；6〉蛊£⑴旺£(0］=£/i⑴(0=/.fi⑴；10)/(z)FJf«(/)=J^/(r)dr分析：根据卷积的定义证明.证明：2)/,(0*/2(0*/j(0］=匚£(可［血(1)*3(1)］衍=匚〃)［匚f3(U)f2(t-T-U)du^dT=匚匚川了)人何f2{t-T-u)AuAT=匚［匚/3(«)d«=匸［右(〜")*/2(^~«)/3(w)d«=Z(0样⑴卜厶⑴6〉蛊齐⑴打2“)卜豈匚£⑺£(/Y)df=匚寻［£⑺•厶“-讪"f,

2、(t)*^/2(0‘f(4*/：(0］=£匚ft(^~r)f2(T)dT=00,rvo解：由壬(t)=e~a/u(t)=^严昇>0/（、“#介，/2（0=sinZw（0=0,t<0所以/1（0*fl（0=/z（0*/i（0=匚fl⑺fl（rY）d〃T>0,/2(T)^0;/-T>0,/1(/

3、-r)^0・即必须满足T>0t-T>0T>0T—u)du1In匚尸2（2一“）匚£（'）「"血Au

4、=彩匚[匚巧9-«)/.(/)e-jwzd/]du=—f+o°r[^F2(d>-i/)e-jM7i(OdMldz2兀」yy-唱匚［川)匚耳($02恤］曲=匚£(小严•川)du歹［/⑴.f2⑴］5•求下列函数的Fourier变换：1)/⑴=“11如•"⑴;2)f(/)=e-^sina)Qt•w(^);5)/(f)=e叫(一o);解：1〉已知歹［u(r)］=兀§(“)+丄，又J/(/)=sin^(/w(/)=^7(eM/w(r)-e_wz/(Z))・2j由位移性质有/］、珥口)］专严…j+而莎一昨+硝一而硕‘=寺卩9一処)

5、一6佃+吗)］一歹亀■・2j•丿2)由Fourier变换的定义，有e"sind>0^u(^)］=厂e"sind>0/w(z)ejfixdr=J；sineje"幻""d(e-(0+问［_(0+j❻)抽砒一佻cos如］(0+j“)2+"(/5+80(0+询+吗25)利用位移性质及m⑴的Fourier变换，有歹[叩-4)]=「叫歹[叩)]=严再由象函数的位移性质，有「9-讥[曲_©)+兀6(血一血())7.已知某信号的相关函数^(r)=

6、e-2flW,求它的能量谱密度S(e),其中a>0・解由定义知S(e)=广RC)「叫"百

7、匚严严dr(2a-j亦°1e42a-jet)-(2a+ja>)r-8+4-(2a+je)+801(1I14(2a-je2a+a)y9・求函数/(r)=e^w(r),(a>o)的能量谱密度.解：因为/(/)=e-arw(/)=严昇>00,/v0'/(卄丁)=严(“％(/+厂)=<严">Y0,t<-T当/>0时，/⑴□+/)工o的区间为(0,+oo),所以R(T)=f^f(t)f(t+r)dt=f^e-Me~a(,+r)dt-ar2严也=严+oo0当*0时,/(r)/(z+r)^O的区间为(Y,+8),所以r(t)=匚/

8、⑴m+『)d心匚严严叫/1f4-00=e~are~2a/-2a-t-ar1^2ar1^ar=e——e=——elala因此,叫〉厂则，现在可以求得/■⑴的能量谱密度，即S(e)=J如/?C)e—j"df=丄匚e-*le-j^dr82^fe("d/+广咖drJo11(Lz0j1c-仏+j亦4-00laG-je■_8_(a+g)0+laa-a)a+jea1+ar