资源描述：
《工程数学-积分变换（张元林）课后习题讲解1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1-21・求矩形脉冲函数/(O=A^'~T的Fourier变换.0,其他■解：F(e)===JA(l-严)je2•设F(q)是函数/⑴的Fourier变换，证明F(e)与口)有相同的奇偶性.证明：F(e)与/(f)是一个Fourier变换对，即F(e)=J二/'⑴严/⑴€匸尸(映认如果F(e)为奇函数，即F(-e)=-F(e),则/(-Z)=丄[+°°F(血)』心)(10=—f+°°(-F(-力))』-叭1血2nJ—oo2nJ'/(令F何e""d氏(换积分变量u为0)=-^-f+O°F(^)e^=-/(Z)2nJ_g
2、所以/■⑴亦为奇函数.如果/⑴为奇函数，即/(-z)=-/(z),贝IJF(_q)=(心/⑴就-劲缶二
3、*+°°-/(-/)「吩"缶J—O0」一OO(令-t=u)=f/(w)e~jzyMdwJ4-00(换积分变量〃为f)=-[+°°/(0e%df=-F(e)所以尸(劲亦为奇函数.同理可证/•⑴与F(e)同为偶函数.4.求函数/(/)=e_,(/>0)的Fourier正弦变换，并推证rG)sinaa)da)=-e-a{a>0)Jo1+"2')解：由Fourier正弦变换公式，有F$(q)=右[/(()]=J；f(t)si
4、n^dte_/sinMdte‘(一siner-ecose/)4-ooq1+"01+由Fourier正弦逆变换公式，有/⑴Fgsisde=半广如血,6a)01+dF由此，当2Q>0时，可得卄a)smaa)°l+d/5•设//[/(/)]=F(6>),试证明：D/⑴为实值函数的充要条件是F(-e)二打亦；2)/⑴为虚值函数的充要条件是F(-e)=-可亦.证明:在一般情况下，记/(O=/r(O+jZ(O其中£")和£(()均为r的实值函数，且分别为/⑴的实部与虚部.因此(e)=J二/⑴e"d/=厂』/；(/)+““)]卜0泗
5、-jsinm]d/=j+[£(r)co§Qr+£(r)sine/]dr-jj+[fr(z)sin^-/.(z)cos6yr]d/=Re[F(Q)]+jIm[F(^)其中Re[F(e)]=r[乞(r)cos血+犬⑴siner]dr9ImF(b)]=-j+fr(/)sin6)/-/.(/)cosd?/]dfoo(b)巧若/⑴为/的实值函数，即/(O=X(O^(O=o-此时，(町式和(b)式分别为Re
6、»)]訂二£")cosa)tdtIm二〃)sina)tdt所以F(一e)=Re[F(-q)]+jIm[F(-e)]=Re[F
7、(d>)]-jIm[F(d>)]=F(^j反乙若已知F(-硏=丽,则有Re[F(-zy)]+jIm[F(-d>)]=Re[F(d>)]-jIm[F(d>)]此即表明F(e)的实部是关于血的偶函数;F(“)的虚部是关于0)的奇函数•因此，必定有(d>)=[fr(r)cos^d/-j[+fr(r)sin^d^OOJ—OOJ—oo亦即表明/(0=/40为啲实值函数•从而结论C获证.2》若/⑴为啲虚值函数，即/(/)=iA(r),/r(O=o-此时，⑷式和(b)式分别为Re[F(e)]訂二川)sina)tAtIm[r(6y)]
8、=广£(f)cos血df所以F（_e）=Re[F（_e）]+jIm[F（一e）]=-Re[F（zy）]+jIm[F（zy）]=-{Re[F（6y）]-jIm[F（d；）]}=—F（e）反之，若已知F（-^）=-F（^j,则有Re[F（-e）]+jIm[F（-e）卜一Re[F（e）]+jIm[F（e）]此即表明FS)的实部是关于血的奇函数；F(e)的虚部是关于血的偶函数•因此，必定有亦即表明/(O=iA(O为『的虚值函数•从而结论2〉获证.6•已知某函数的Fourier变换尸9)=晋，求该函数/'⑴.解：FS)=沁为连续
9、的偶函数，由公式有但由于当a>0时<12当a=0时，J："z"dQ=O,所以得/（/）=<；,
10、4=1J0040,Z>17.已知某函数的Fourier变换为F（e）=兀［6（血+現）+6（力-©）］,求该函数/•⑴.解：由函数6（r-_）g⑴df=g（s）9易知/（0—[+F（Q）ei”d02兀J—OO2nj-j+兀6（血+©卜阿de+1f+TT^S-eJe阿deJ—OO&求符号函数（又称正负号函数〉sgn（/）=_1^<0的Fourier91,t>0变换.解:容易看岀sgn（z）=M（Z）-u（-Z）,而伊［〃（（）
11、］=F（e）-丄+兀6（初・J9.求函数/（/）=-6（十）+6（—）+雉+百+雉-百的2
12、_（2丿（2丿—Fourier变换.解:F（e）=lF［/（r）］=—匚6（Z+a）+5（Z-a）+5t+-+St--e"dej22丿2丿e-询+严+e%1Q-j劲d十ea~2_t=—at—at=—2a-cosae+cos—e・210•求函
