第二讲数列的极限教案

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1、第二讲数列的极限教学目标:(1)理解数列的概念；(2)了解数列极限的的定义，通过学习逐步加深对极限思想的理解；(3)理解收敛数列的有界性，极限的唯一性等性质.教学重点:极限概念及其计算，极限的精确定义，利用定义求极限教学艮隹点：极限概念及其计算，极限的精确定义，利用定义求极限教学方法：讲授法谈话法课时安排：教学过程：§1.2数列的极限一、数列极限的概念1•数列按照一定顺序排列着的无穷多个数，若入丄心,L，记为｛xtl｝,xn叫数列的一般项或通项.(-If*，…，通项£=(一1)网；〃+(-1厂n几何上,数列兀可视为数轴上一动点，它依次取数轴上点西，…百，….从这个意义上讲,数列｛暫｝

2、又可视为定义在自然数集上的一个函数xn=f(n),当自变量依次取1,2,3,...时，对应的函数值就排成数列｛暫｝・2.数列极限的定义直观定义：极限是数列稳定的变化趋势.14/?+(—1)1观察数列2,1,-,...,―，…，可见当斤无限增大时，£无限接近1；即23n当川无限增大时，兀与1的距离k-l

3、=丄无限接近0；也即是说，当〃无限增大n时，占与1的距离可以任意小；即是说，无论事先给定一个怎样小的正数，总可以在n无限增大的过程中找到一个确定的N,在N项之后,距离k-11=丄很小n并保持比事先给定的那个正数更小•具体说来，当给定的正数为io-时，W可取为大于10的整数；当给定的正数

4、为ICT?时，N可取为大于100的整数；当给定的正数为KT1时可取为大于10000的整数；当给定£>0时取大于[£]+1的整数.精确定义(E-N定义)：对数列｛暫｝,0£>0,3N>0,当n>N时有心-內<£,则称A为匕｝的极限,记为limxn=A.此时亦说暫收敛于A,否则称｛%｝发散.注1:£的理解，£是事先给定的正数，它具有两重性.(1)任意性：这样,才能保证暫与A无限接近,即比-內任意小.(2)相对固定性：只有这样,才能由此找到N,使比-A

5、v「注2：N是什么数，怎样找N,它与什么有关,是否唯一？(1)“是数列£中项数〃的取值,故为某一正数,它由£确定.(2)找N的方法：由

6、x

7、„-A

8、<£出发解不等式得心0(£),取N>(p(e)(或N=S(£)］)・不过，有时为了使不等式

9、兀-內<£,需要采取适//—>oo当放大

10、x/?-A

11、<

12、<£，只要g(〃)<£即可•由此g丿~»u解出,n>(p(E),取N>(p(E).(3)由N=S(£)］知,”与£有关,£越小,N越大.(4)N不唯一.若mN,则N+l,N+2,…都可以.数列｛兀｝以A为极限的几何解释：Xn-A03A^>0当n>N有

13、旺_四

14、<£例1用定义证明(1)lim—=0；iy/n(2)(3)0.1,0.11,0.111,…，0.,…的极限畤证(1)

15、x„-0

16、=V£>0，要>占，即可取N=［占］当n>NXn—0

17、<£,只要<£'即"yjn时有v£•古攵lim—-7=2/?-125斤+25=0.2(2)由xn--9925(5〃+2)5斤+2n2V£>0,要Xn<£5只要-<£即川>2即可•故可以取N=p]，当n£[£」故lim―-5/1+2（3）先写出数列通项暫=0・111…1=111・・・110"9・・・9—10〃10〃9・10〃Ve>0，要xn-~lg丄即可•故取/V=lg-,则91

18、0££当n>N有<£.故limg〃T82sin—例2问lim—-~=?,并且当£=10’时,求出N・矿+3解分三步：（1）观察极限；（2）验证；（3）求N.C-n兀2sin—(1)观察知lim彳=o厂+3故取N二日7??.9TTirrw>°，要此一°"只要Y即2sin—，当n>N时，有£一0

19、v£,所以lim1“T8(3)当£=10一3时，N==2000.二、收敛数列的性质1・唯一性：若｛兀”｝收敛，则极限唯一.证（反证法）设limxn=a,lim£=方，且a<方・取£="T8"T80••Tim£=a,故KN、，当n>N、时有

20、xz2-a

21、，即暫>二-，,兀>凹同时成立•产生矛222•・•lim£=b,・•・2N2,当n>N2时有-b<-―-"Too2取N=max{M,N},当n>N时,有入盾./.a-b2.有界性0，使对一切呂有界.定理若｛兀｝收敛,则｛暫｝必有界.证设hmxn=a,则V£>0,3A^>0,当n>N时,有比“T8x/t=xn-aa0，当n>N、时，有卜“

22、v1+问，取M=max

23、