《数值分析》课程设计--常微分方程初值问题各类算法的实现和分析

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1、《数值分析》课程设计常微分方程初值问题各类算法的实现和分析院（系）名称信息工程学院专业班级09普本信计1班学号XXXXXXXXX学生姓名指导教师XXX2012年6月1日数值分析课程设计评阅书题目常微分方程初值问题各类算法的实现和分析学生姓名XXX学号xxxxxxxxx指导教师评语及成绩指导教师签名：年月日答辩评语及成绩答辩教师签名：年月日教研室意见总成绩：教研室主任签名：年月日课程设计说明书（论文）第III页课程设计任务书2011—2012学年第二学期专业班级：09普本信计1班学号：080111

2、017姓名：XXX课程设计名称：数值分析设计题目：常微分方程初值问题各类算法的实现和分析完成期限：自2012年5月21日至2012年5月31日共10天设计依据、要求及主要内容：一、设计目的掌握常微分方程初值问题的理论和各类算法及其误差分析,能够熟练地应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab函数库软件。二、设计要求(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。(2)使用所用的方法编写Matlab程序进行求解，对数值结果进行分析。(3)选取具有代表性的微分方程

3、初值问题，作为求解目标。三、设计内容(1)对一常微分方程组初值问题。(2)用Runge-Kutta求解。(3)用Adams多步方法求解。四、参考文献[1]黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.[2]李庆扬,易大义.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2008.[3]石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.计划答辩时间：2012年6月5-8日指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：2012年5月20日课程设计说

4、明书（论文）第III页常微分方程组初值问题各类算法的实现和分析摘要此次课程设计解决的是常微分方程组初值问题数值解实现的问题。主要阐述四阶单步方法和四步方法递推公式的求解过程，通过编写所求问题数值方法的算法，进而利用编写实现初值问题数值解的主程序画出图形，并与解决刚性问题的库函数画出的图形进行对比,得出:在适当选取步长后，单步法法和二步法可以很好的近似精确解，而四步法却不尽如人意。关键词：方法，方法，，课程设计说明书（论文）第III页目录1前言12问题提出13方法23.1理论描述23.2算法设计4

5、3.3程序调用53.4结果分析64多步方法64.1方法：74.1.1四步法74.1.2二步法74.2算法设计84.3程序调用84.4结果分析95方法改进10总结11参考文献11附录12英文翻译15课程设计说明书（论文）第18页1前言常微分方程的形成与发展和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关。数学的其他分支的发展，如复变函数、组合拓扑等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学

6、、经济和金融领域中的许多原理和规律都可用适当的常微分方程来描述。根据给定的初始条件，确定常微分方程组惟一解的问题叫常微分方程组初值问题。但只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大多数实际问题难以求得解析解，必须将微分问题离散化，用数值方法求其近似解。对于的一阶常微分方程组的定解问题：(1)其中，，，为向量值函数。利用数值方法解问题(1)时，有常微分方程解的存在唯一性定理保证，通常假定解存在且惟一，解函数及右端函数具有所需的光滑程度。数值解法的基本思想是：先取自变量一系

7、列离散点，把微分问题(1)离散化，通过建立求数值解的递推公式，求出离散问题的数值解,并以此作为微分问题的近似。即：在离散点上建立一种数值解递推公式以寻求解近似值。我们知道数值方法的隐式方法比显式方法有更好的稳定性，在求解微分方程组时，出现解的分量数量级差别很大的情形，称之为刚性方程组，因此，选择隐式方法可以使问题具有更大的绝对稳定区域。2问题提出对以下的常微分方程组初值问题课程设计说明书（论文）第18页运用四阶方法并选用一多步方法求解，根据其数值方法编写算法，进一步编写成解决问题的主程序，根据计

8、算结果画出解的图形，并对其进行分析。3方法3.1理论描述[1]是基于泰勒展开的一种方法。方程(1)的等价形式：(2)若要使公式阶数提高，就必须是右端积分的数值求积公式精度提高，因此必须要增加求积结点，为此可将(2)式的右端用求积公式表示为：(3)一般来说，点数越多，精度越高。由此得到级方法：(4)其中这里，，均为常数。为了节省篇幅起见，只对的方法采用详细推理过程，因为四阶的方法的推导相当繁琐，因此只对其采用递推的方式。对二阶方法，得到计算公式：(5)课程设计说明书（论文）第18页将运用二元泰勒展