任意角的三角函数及诱导公式(学生版)

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1、任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】1．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，,是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：弧度；弧度．⑤弧长公式：，扇形面积公式：.2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设为

2、角终边上异于原点一点，则角的正弦、余弦、正切分别是：，，特别地，当时，，(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于.由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中，，单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则.我们把有向线段叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线　(Ⅰ)　　　　　(Ⅱ)　(Ⅲ)　　　　　(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线84．同角三角函数的基本关系式(1

3、)平方关系：．(2)商数关系：.5．九组诱导公式角函数对于角“”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”．【课前小练】1.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则_____________2.若，，则8A．B．C．D．3.已知，那么（）A.B.C.D.【例题解析】考点一　任意角的三角函数值例1已知角的终边过点，求这个角的三个三角函数值。变式1已知角的终边在直线上，求的值．考

4、点二　三角函数线、三角函数值的符号例2已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角例3函数的值域是（）A.{-1，1}B.{-1，1，3}C.{-1，3}D.{1，3}例4已知，则下列命题成立的是（）A．若、是第一象限角，则B．若、是第二象限角，则C．若、是第三象限角，则D．若、是第四象限角，则变式2的值（）A．大于B．小于C．等于D．不确定例5已知，求角的集合．8变式3的定义域为________．考点三　扇形弧长、面积公式的应用例6半径为，圆心角为所对的弧长为（）....例7(1)一个半径为的扇形，

5、若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为；当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？变式4已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.(1)若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？考点四　同角三角函数的关系题型一:的相互转化知一求二是基础例8若，，则（）A．B．C．D．例9（1）已知，且为第三象限角，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求值：①；②．8变式5已知为某三角形的一内角，且，求，，的值．变式6已知，求下列各式的值：①；②

6、；③变式7已知，那么的值为（）A．－2B．2C．D．－题型二:的运用常用思路1:构建齐次式常用思路2：的转化例10已知,则的值为（　　）A．B．C．D．变式8(1)若角是第二象限角，化简；(2)化简：.变式9（1）若，且，则_____（2）若是三角形的内角，且，试判断三角形的形状；8考点五　诱导公式题型一利用诱导公式化简求值例11已知（）A.B.C.D.变式10已知,则__________;例12，，的值为（）A.B.C.D.—变式11，且是第四象限的角，那么______变式12已知，则变式13已知：，求值变式14化简：；变式15若,则_________

7、___.8题型二利用诱导公式求任意角的三角函数负角变正，大角变小，小变锐角例13的值为（　　）A.B.C.D.变式16化简的结果是()A.B.C.D.变式17的值为（　　）A.B.C.D.变式18计算题：【课后练习】1．已知，那么角θ是(　　)A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角2．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)A．1B．4C．1或4D．2或43．（吴家山中学·难度C）已知，则下列命题成立的是（）A．若、是第一象限角，则B．若、是第二象限角，则C．若、是第三象限角，则D

8、．若、是第四象限角，则84．（课本改编题）若，则（）A.B.C.D.5．已知角α