函数的单调性问题

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1、函数的单调性问题四川省成都高新一中周先华函数的单调性是函数的局部性质。对函数f(x)的定义域（或其某个子集）A内任意两个数x1与x2，x1f(x2)，则称f(x)是区间A上的单调递减函数；研究函数的单调性对研究函数的局部性质具有十分重要的意义，下面对函数的单调性问题类题型做出如下系统归纳。为帮助考生复习巩固，最后给出一组小练习供读者演练。一．求函数的单调区间及判定函数的单调性求函数的单调区间，常用以下四种方法。1.定义

2、法例1.求函数f(x)=x+的单调区间。分析：显然x≠0。由于函数f(x)为奇函数，因此先求f(x)在x>0时的单调区间，再由奇函数的对称性求出在整个定义域范围内的单调区间。当0

3、2）的大小；但往往在第二步中会遇到不能确定正负的式子，如例1中的（x1x2-1），则需要按实际分情况讨论。2.图象法例2.求函数y=

4、1+2x

5、+

6、2-x

7、的单调减区间分析：y=，由图象（如右图）得减区间是。点评：直接做出函数的图象，再由图象直接求出其单调区间是一种形象直观的方法。3.导数法例3.求函数单调减区间。分析：=4x3+4，由于求减区间，所以4x3+4<0，解得x<-1。点评：一般地，设函数f(x)在某个区间内可导，如果>0，则f(x)为增函数；如果<0，则f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有

8、=0，则f(x)为常数；运用此性质求函数的导函数后再求增减区间，比定义法加方便有效。4.求复合函数的单调区间例4.已知y=f(x)是偶数，且在[0,+∞）上是减函数，求f(1-x2)单调增区间。分析：因为f(x)是偶函数，且在[0,+∞）上是减函数，由偶函数的图象关于Y轴对称的性质，则f(x)在（-∞，0）上是增函数。令u=1-x2，令u≥0，即1-x2≥0，得0≤x2≤1，已知当x∈[-1,0]时u是增函数，在x∈[0,1]时u是减函数，又知f(u)是减函数。当x[-1,0]时f(1-x2)是减函数在x

9、∈[0,1]上是增函数。点评：复合函数的单调性遵循“同增异减”原则。即构成复合函数的两个函数中，若两个均为增或减函数，则复合函数为增函数；若两个函数中一个为增另一个为减，则复合函数为减函数。二．利用函数的单调性解不等式例5.设f(x)在R上是偶函数，在区间（-∞,0）上递增，且有f(2a2+a+1)0，3a2-2a+1=>0，且f(2a2+a+1)

10、a+1)，所以2a2+a+1>3a2-2a+1,解之，00对一切正实数t成立，求实数k的取值范围。分析：由已知f(klog2t)+f(l

11、og2t-lo-2)>0，由于f(x)为奇函数，则f(klog2t)>-f(log2t-lo-2)，又由于函数f(x)是R上的单调函数，分两种情况：（1）若递增，则klog2t>log2t-lo-2，即lo-(k+1)log2t+2<0，此式不可能对一切正实数t成立，舍去；（2）若递减，则klog2t0，对一切正实数t成立，则Δ<0，解得。点评：本题与题型二中例五比较，实际上是已知不等式的解集逆求不等式中参数的取值范围；去掉函数符号的过程与例5类似

12、。练习：1.已知函数y=f(x)（x∈A），若对任意a,b∈A，当a