浙江高考数学第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题（第1课时）范围、最值问题讲义（含解析）

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1、高考专题突破六　高考中的圆锥曲线问题第1课时　范围、最值问题题型一　范围问题例1　(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.(1)证明　设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根.所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.(2)解　由(1)可知

2、所以

3、PM

4、＝(y＋y)－x0＝y－3x0，

5、y1－y2

6、＝2.所以△PAB的面积S△PAB＝

7、PM

8、·

9、y1－y2

10、＝(y－4x0).因为x＋＝1(－1≤x0＜0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，所以△PAB面积的取值范围是.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不

11、等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练1　(2018·杭州质检)已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点.(1)若

12、m

13、>，求实数k的取值范围；(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求△OAB的面积的取值范围.解　(1)联立方程＋＝1和y＝kx＋m，得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，所以Δ＝(6km)2－4(2＋3k2)(3m2－6)>0，所以m2<2＋3k2，又

14、m

15、>

16、，所以2＋3k2>3，即k2>，解得k>或k<－.所以实数k的取值范围为∪.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)知x1＋x2＝，x1x2＝，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，因为直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，所以k1k2＝＝k2，即＝k2，化简得2＋3k2＝6k2，即k2＝.因为

17、AB

18、＝

19、x1－x2

20、＝，原点O到直线AB的距离h＝＝·

21、m

22、，所以△OAB的面积S△OAB＝

23、AB

24、·h＝×≤×＝，当且仅当m2＝6－m2，即m＝±时，等号成立.但此时直线OA或OB的斜率不存在，所以等号取不到，所以S△OAB∈.题型

25、二　最值问题命题点1　利用三角函数有界性求最值例2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则

26、AF

27、·

28、BF

29、的最小值是(　　)A.2B.C.4D.2答案　C解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得

30、AF

31、＝，

32、BF

33、＝，则

34、AF

35、·

36、BF

37、＝×＝≥4.命题点2　数形结合利用几何性质求最值例3　在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.答案　解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近

38、线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.命题点3　转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值例4　(2017·浙江)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求

39、PA

40、·

41、PQ

42、的最大值.解　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－＜x＜.所以直线AP斜率的取值范围为(－1，1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝.因为

43、PA

44、＝＝(k＋1)，

45、PQ

46、＝(

47、xQ－x)＝－，所以

48、PA

49、·

50、PQ

51、＝－(k－1)(k＋1)3，令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间上单调递增，在上单调递减.因此当k＝时，

52、PA

53、·

54、PQ

55、取得最大值.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解

56、.跟踪训练2　(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回