浙江高考数学第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题（第2课时）定点与定值问题讲义（含解析）

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1、第2课时　定点与定值问题题型一　定点问题例1　(2018·湖州模拟)已知椭圆＋y2＝1(a>0)的上顶点为B(0，1)，左、右焦点分别为F1，F2，BF2的延长线交椭圆于点M，＝4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l交椭圆于P，Q两点，且kBP＋kBQ＝m(m为非零常数)，求证：直线l过定点.(1)解　方法一　设M(x0，y0)，F2(c，0)，则由＝4，得即代入椭圆方程得＋＝1，又a2＝c2＋1，所以a2＝2，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.方法二　如图，连接BF1，MF1，设

2、BF1

3、＝

4、BF2

5、＝3n，则

6、F2M

7、＝n，又

8、MF1

9、

10、＋

11、MF2

12、＝

13、BF1

14、＋

15、BF2

16、＝6n，所以

17、MF1

18、＝5n，由

19、BF1

20、∶

21、BM

22、∶

23、MF1

24、＝3∶4∶5，得∠F1BM＝90°，则∠OBF2＝45°，a2＝2b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，x1＝x2≠0，y1＝－y2，所以kBP＋kBQ＝＋＝－＝m，x1＝－，即直线l：x＝－.当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋t，把y＝kx＋t代入椭圆的方程并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)

25、＝8(2k2＋1－t2)>0，所以kBP＋kBQ＝＋＝＋＝＝＝m，整理得2k＝m(t＋1)，t＝－1，所以直线l的方程为y＝kx＋－1＝k－1，过定点.综上，直线l过定点.思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.跟踪训练1　(2018·浙江重点中学调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

26、F1F2

27、＝2，点P在椭圆上，tan∠PF2F1＝2

28、且△PF1F2的面积为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点M是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA1，MA2分别与直线x＝交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标.解　(1)由tan∠PF2F1＝2，得sin∠PF2F1＝，cos∠PF2F1＝.由题意得解得所以2a＝

29、PF1

30、＋

31、PF2

32、＝4＋2＝6，a＝3，结合2c＝2，c＝，得b2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)得A1(－3，0)，A2(3，0)，设M(x0，y0)，则直线MA1的方程为y＝(x＋3)，与直线x＝的交点为E

33、，直线MA2的方程为y＝(x－3)，与直线x＝的交点为F.设以EF为直径的圆交x轴于点Q(m，0)，则QE⊥QF，从而kQE·kQF＝－1，即·＝－1，即＝－2，又＋＝1，得m＝±1，故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为，.题型二　定值问题例2　(2018·北京)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值.(1)解　因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所

34、以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0

35、N的纵坐标为yN＝＋2.由＝λ，＝μ，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.所以＋为定值.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.跟踪训练2　已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且

36、F1F2

37、

38、＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，