浙江高考数学第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题（第3课时）证明与探索性问题讲义（含解析）

《浙江高考数学第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题（第3课时）证明与探索性问题讲义（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3课时　证明与探索性问题题型一　证明问题例1　设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0).由＝，得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明　由题意知F(－1，0).设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，

2、－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n).由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法.跟踪训练1　已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0，1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(

3、2)求证：PM⊥PN.(1)解　由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1.∴椭圆T的方程为＋y2＝1.(2)证明　方法一　①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(x0，y0)，则x＋y＝4，设kPM＝k，PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立方程组消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x－6kx0y0＋3y－3＝0，依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－3)＝

4、0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，又kPM，kPN为方程的两根，所以kPM·kPN＝＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.方法二　①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(2cosθ，2sinθ)，切线方程为y－2sinθ＝k(x－2cosθ)，联立得(1＋3k2)x2＋12k(sinθ－kcosθ)x＋12(sinθ－kcosθ)2－3＝0，令Δ＝0，即Δ＝144k2(sinθ－kcosθ)2－4(1＋3k2)[12(sinθ－kcosθ)2－3]＝

5、0，化简得(3－4cos2θ)k2＋4sin2θ·k＋1－4sin2θ＝0，kPM·kPN＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.题型二　探索性问题例2　(2018·浙江重点中学考前热身联考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的动点S到椭圆E的右焦点F(1，0)的距离的最小值为－1.(1)求椭圆E的方程；(2)若过点F作与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解　(1)因为椭圆E：＋＝1(a

6、>b>0)上的动点S到椭圆E的右焦点F(1，0)的距离的最小值为－1，所以得所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)在线段OF上存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线l与x轴不垂直，则可设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由题意知，Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，因为以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，所以

7、MP

8、＝

9、MQ

10、，所以(x1－m)2＋y＝(x2－m)2＋y，即(x1－m)2＋1－＝(x2－m

11、)2＋1－，所以(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，则m＝，因为x1＋x2＝，所以m＝＝＝－(k≠0)，所以0

12、，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OP