2018年高中数学 数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学案新人教a版

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1、第1课时　等比数列的前n项和学习目标：1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．[自主预习·探新知]1．等比数列前n项和公式等比数列的前n项和公式思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．2．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比q

2、乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝(q≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示]　根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理，则得＝q，即＝q，进而可求Sn.[基础自测]1．思考辨析(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　)(2)若首项为a的数列既是

3、等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　)(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　提示：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－a

4、qn.2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________.31　[S5＝＝＝31.]3．数列，，，…的前10项的和S10＝________.【导学号：91432215】　[S10＝＋＋＋…＋，则S10＝＋＋…＋＋.两式相减得，S10＝＋＋＋…＋－＝－，所以S10＝.]4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．11(1.15－1)a　[去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a＋1

5、.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.][合作探究·攻重难]等比数列基本量的运算　在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.【导学号：91432216】[解]　(1)由题意知解得或从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.(2)法一　由题意知解得从而S5＝＝.法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5

6、＝＝.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而或又Sn＝＝126，所以q为2或.[规律方法]　1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．[跟踪训练]1．在等比数列{an}中，(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.【导

7、学号：91432217】[解]　(1)由Sn＝得11＝，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得16＝(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，∴S4＝＝1，S8＝＝17，两式相除得＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝或a1＝－，∴an＝·2n－1或－·(－2)n－1.等比数列前n项和公式的实际应用　借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)思路探究：解决等额还

8、贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)从还贷之月起