2018年高中数学 随机变量及其分布2.4正态分布高效演练新人教a版

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1、2.4正态分布A级　基础巩固一、选择题1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝(　　)A．4　　　　　B．2　　　　　C.　　　　　D．1解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.所以D＝D(X)＝1.答案：D2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝(　　)A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P(ξ＜4)＝0.8，知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.答案：C3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从

2、中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　)[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6826，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.1359＝13.59%.答案：B4．若随机变量X～N(1，4)，P(X≤0)＝m，则P(0＜X＜2)＝(　　)A.B.C．1－2mD．1－m解析：由对称性：P

3、(X≥2)＝P(X≤0)＝m，P(0＜X＜2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－m－m＝1－2m，故选C.答案：C5．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2;σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.答案：A

4、二、填空题6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.27．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．解

5、析：法一　设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1000小时的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝.因为P()＝P1P2P3＋P3＝××＋＝，所以P(A)＝1－P()＝.法二　设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1000小时的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝.故P(A)＝P1P2P3＋P1P2P3＋P1P2P3＝××＋××＋

6、××＝.答案：8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.3三、解答题9．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N(173，72)(单位：cm)，问车门应设计多高(精确到1cm)？[参考数

7、据：φ(2.33)＝0.99]解：设公共汽车门的设计高度为xcm，由题意，需使P(ξ≥x)＜1%.因为ξ～N(173，72)，所以P(ξ≤x)＝φ＞0.99.查表得＞2.33，所以x＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞．10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500元的人数百分比．解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝80

8、00，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．(2)因为P(7500<ξ≤8000)＝P(8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826.所以P(8000<ξ≤8500)＝P(750