2019版高考数学复习专题检测（二十二）“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略理（普通生，含解析）

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1、专题检测（二十二）“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略1.(2018·济南模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．(1)若直线OA，OB的斜率之积为－，证明：直线l过定点；(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－x2(－2＜x＜2)上，求

2、AB

3、的最大值．解：(1)证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4m＝0，Δ＝16(k2＋m)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，则kOA·kOB＝＝＝＝－，由已知kOA·kO

4、B＝－，得m＝1，满足Δ＞0，∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0,1)．(2)设M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝＝2k，y0＝kx0＋m＝2k2＋m，将M(x0，y0)代入y＝4－x2(－2＜x＜2)，得2k2＋m＝4－×(2k)2，∴m＝4－3k2.∵－2＜x0＜2，∴－2＜2k＜2，∴－＜k＜，∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0，∴－＜k＜，故k的取值范围是(－，)．∴

5、AB

6、＝·＝·＝4·≤4·＝6，当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±时取等号，∴

7、AB

8、的最大值为6.2．(2018·石

9、家庄质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2＋y2＝9，求椭圆的长轴的长；(2)当b＝1时，问在x轴上是否存在定点T，使得·为定值？并说明理由．解：(1)设AF1的中点为M，连接OM，AF2(O为坐标原点)，在△AF1F2中，O为F1F2的中点，所以

10、OM

11、＝

12、AF2

13、＝(2a－

14、AF1

15、)＝a－

16、AF1

17、.由题意得

18、OM

19、＝3－

20、AF1

21、，所以a＝3，故椭圆的长轴的长为6.(2)由b＝1，＝，a2＝b2＋c2，得c＝2，a＝3，所以椭圆C的

22、方程为＋y2＝1.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，由得(9k2＋1)x2＋36k2x＋72k2－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝k2(x1＋2)(x2＋2)＝.设T(x0,0)，则＝(x1－x0，y1)，＝(x2－x0，y2)，·＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x＋y1y2＝，当9x＋36x0＋71＝9(x－9)，即x0＝－时，·为定值，定值为x－9＝－.当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，当T时，·＝·＝－.综上，在x轴上存在定点T，使得·为定值．3．(2019届

23、高三·西安八校联考)已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，证明：λ1＋λ2为定值；(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．解：(1)∵l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F，∴右焦点F(1,0)，c＝1，即c2＝1.∵x2＝4y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，∴b＝，即b2＝

24、3，a2＝b2＋c2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由题意知m≠0，联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.∵＝λ1，＝λ2，M，∴＝λ1(1－x1，－y1)，＝λ2(1－x2，－y2)，∴λ1＝－1－，λ2＝－1－，∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－.综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－.(3)当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，猜想当m变化时，直线AE与BD相交于定点N，证明如下：则＝＝，易知E(4，y2)，则＝.∵y2－(

25、－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0，∴∥，即A，N，E三点共线．同理可得B，N，D三点共线．则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：

26、

27、，

28、

29、，

30、

31、成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0

32、k<－.(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1