2019版高考数学复习第三层级难点自选专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略讲义理（普通生，含解析）

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1、难点自选专题三　“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题·T19直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程·T19直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明·T202017椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题·T20点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等·T20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T202016轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题·T20直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位

2、置关系·T20解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明．考法·策略(一)　依据关系来证明[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.[解]　(1)

3、由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.则点A的坐标为或.又M(2,0)，所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－，即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2

4、－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB成立．[题后悟通]　几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数

5、式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[应用体验]1．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足

6、BM

7、＝2

8、MA

9、，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.又＝(－a，b)，从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．由(1)可知a2＝5b2，所

10、以·＝0，故MN⊥AB.考法·策略(二)　巧妙消元证定值[典例]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．[解]　(1)由题意得，a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.又c＝＝，所以离心率e＝＝.(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而

11、BM

12、

13、＝1－yM＝1＋.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而

14、AN

15、＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝

16、AN

17、·

18、BM

19、＝＝＝＝2.从而四边形ABNM的面积为定值．[题后悟通]　解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等．[应用体验]2．(2019届高三·湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2

20、,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是