高考理科数学普通生讲义难点自选专题四“函数与导数”压轴大题的抢分策略

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1、难点自选专题四“函数与导数”压轴大题的抢分策略［全国卷3年考情分析］年份全国卷I全国卷II全国卷in2018利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题—21导数在研究不等式及极值问题的应用・丁212017利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题・丁21利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明・T2i导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩・T212016利用导数解决函数的零点问题、不等式的证明・丁2

2、利用导数判断函数的单调性、不等式证明及值域问«t21三角函数的导数运算

3、、最值问题及不等式证明・T2

4、导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点.解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值.考法•策略(一)利用分类讨论思想探究函数的性质［典例］设f(x)=xx—«x2+(2«—l)x,aWR・⑴令gtr)=f(x),求g(x)的单调区间；(2)已知心)在x=l处取得极大值，求实数a的取值范围.［解］(1

5、)由f(x)=x-2ax+2a9可得g(x)=lnx—2ax+2afx^(0,+°°).“z1A~2ax所以g(x)=-—la——-—・当aWO,xG(0,+8)时，gf(x)>0,函数g(x)单调递增；当QO,xe(0,昜时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增，兀丘仕，+8)时，gf(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当aWO时，g(x)的单调增区间为(0,+°°);当a>0时，g(x)的单调增区间为(0,韵，单调减区间为层，+8)(2)由⑴知,f(1)=0.%1当aWO时，f(兀)单调递增，所以当xG(0,l)时，f(x

6、)<0,/U)单调递减；当xG(l,+8)时，f(x)>0,几r)单调递增.所以人工)在工=1处取得极小值，不合题意.%1当0VaV*时，±>1,由⑴知f⑴在(0,昜内单调递增，可得当xG(O,1)H+,/(x)<0,当韵时，f(x)>0.所以血：)在(0,1)内单调递减，在(1,韵内单调递增，所以/U)在兀=1处取得极小值，不合题意.%1当"=扌时，痔=i，f仗)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，所以当xe(o,+8)时，f(x)W0,/U)单调递减，不合题意.%1当时，0V痔VI,当1)时，f(x)>0,f(x)

7、单调递增，当XG(1,+<«)时，f(x)<0,/U)单调递减.所以/(x)在x=l处取极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为g,+8)・［题后悟通］分类讨论思想解决有关函数性质问题的策略(1)何时讨论参数？1—2/7*在求解中，若参数的取值影响所求结果，就要分类讨论.如本例(1)中由g‘(x)=—确定单调区间时，对d的取值要分类讨论.(2)如何讨论参数？解答此类问题的关键是如何分类，分类时要结合题目条件，对参数取值范围进行划分,进而研究其问题.如本例⑵中分类的依据是痔与1的大小比较.［应用体验］1.(2018*全国卷I)已

8、知函数f(x)=丄一x+alnx.(1)讨论/U)的单调性；(2)若人工)存在两个极值点兀1，x2»证明：他y.兀1一兀2解:⑴心)的定义域为(0,+oo),1XX%1若aW2,则f(x)^0,当且仅当d=2,x=l时，f(x)=0,所以/U)在(0,+8)上单调递减.%1若a>2,令f(x)=0,Ed_&2_4Aa+y]a2~4付x=?Ax=.当皿0,4_寸/_4)佔+Qq2_42丿I2f⑴VO；(a—y]a2—4a+yja2—^}I22)时，ff(x)>0.当xG呼m,出孚三弓上单调递增.上单调递减(2)证明：由(1)知，当且仅

9、当a>2时，/U)存在两个极值点.由于/(兀)的两个极值点Xi,X2满足X2—flx+l=O,所以兀1兀2=1,不妨设X1.由于血匕za=X1~X2XX2InXi-In工2=_2+a・In心一In兀2X1~X2—21nX2所以XlX1

10、的零点问题［典例］函数f(x)=ax+xx在兀=1处取得极值.(1)求./U)的单调区间；⑵若y=f(x)—m—l在定义域内有两个不同的零点，求实数加的取值范围.［解I(1)由题意知，f(x)=a+x+l(x>0),f(l)=