2019版高考数学复习立体几何问题重在“建”——建模、建系讲义理（普通生，含解析）

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1、立体几何问题重在“建”——建模、建系　　　　　　　　　　　　　　[技法指导——迁移搭桥]立体几何解答题建模、建系策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系．建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型．建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.[典例]　(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面P

2、AM所成角的正弦值．[快审题]　求什么想什么证明线面垂直，想线面垂直成立的条件．求线面角的正弦值，想平面的法向量及直线的方向向量．给什么用什么给出边的长度，用勾股定理证线线垂直．给出二面角的大小，可求出点M的位置．差什么找什么差点M的坐标，利用垂直关系建立空间直角坐标系，找出平面PAM，平面PAC的法向量.[稳解题](1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)以O为

3、坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0

4、cos〈，n〉

5、＝cos30°＝，所以＝，解得a＝或a＝－4(舍去)．所以n＝.又＝(0,2，－2)，所以cos〈，n〉＝＝.

6、所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.[题后悟道]利用法向量求解空间角的关键在于“四破”[针对训练](2018·惠州第二次调研)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA＝PB，求二面角APCD的余弦值．解：(1)证明：取AB的中点O，连接CO，PO，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∴AB＝BC＝2.∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，OC＝.∵PA⊥PB，∴PO＝AB＝1.∵PC＝2，∴OP2＋OC2＝PC2，∴CO⊥PO.∵AB∩PO＝O，∴CO⊥平面P

7、AB.∵CO⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)∵PA＝PB，∴PO⊥AO.由(1)知，平面PAB⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴直线OC，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－1,0)，C(，0,0)，D(，－2,0)，P(0，0,1)．∴＝(0,1,1)，＝(，0，－1)，＝(0,2,0)．设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，由得取x1＝1，得m＝(1，－，)为平面APC的一个法向量，设平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由得取x2＝1，得n＝(1,0，)为平面PCD的一个法

8、向量，∴cos〈m，n〉＝＝，由图知，二面角APCD为锐二面角，∴二面角APCD的余弦值为.A组——大题考点落实练1.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，A1C的中点．(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2)点M在线段A1D上，＝λ，若CM∥平面AEF，求实数λ的值．解：(1)因为A1A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形．因为E是BC的中点，所以BC⊥AE

9、.因为BC∥AD，所以AE⊥AD.以A为坐标原点，AE为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(，0,0)，F，＝(0,2,0)，＝，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，所以＝λ，则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．解得M(0,2λ，2－2λ)，所以＝(－，