2020版高考数学复习第三章导数及其表示第2节第1课时导数在研究函数中的应用习题理含解析新人教a版

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1、第2节　导数在研究函数中的应用最新考纲　1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>

2、0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

3、值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.[微点提醒]1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需

4、要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)(3)函数的极大值一定大于其极小值.(　　)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(　　)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一

5、定是极小值.(　　)解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数异号.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√2.(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)A.1B.2C.3D.4解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正.答案　A3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－xlnx

6、的极值是(　　)A.B.C.eD.e2解析　因为f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx，令f′(x)＝0，所以x＝e，当f′(x)>0时，解得0e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.答案　C4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是(　　)A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减解析　易知f′(x)＝－sinx－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cosx－x在(0，π)上递减.答案　D5.(201

7、7·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)解析　设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0

8、(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为(　　)A.4B.2或6C.2D.6解析　函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处