2020版高考数学复习导数及其表示第2节（第3课时）导数在不等式中的应用习题理（含解析）新人教A版.docx

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1、第3课时　导数在不等式中的应用考点一　构造函数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－.证明　(1)由题意得g′(x)＝(x>0)，当01时，g′(x)>0，即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.所以g(x)≥g(1)＝1，得证.(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，所以当02时，f′(x)>0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(2)＝1

2、－(当且仅当x＝2时取等号).①又由(1)知x－lnx≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，所以(x－lnx)f(x)>1－.规律方法　1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1

3、)<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决.【训练1】已知函数f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝lnx，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立.(1)解　将x＝－1代入切线方程得y＝－2，所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4.①f′(x)＝，f′(－1)＝＝－1.②联立①②，解得a＝2，b＝－2.所以f(x)＝.(2)证明　由题意知要证lnx≥在[1，＋∞)上恒成立，即证明(x2＋1)lnx≥2x－2，x2lnx＋lnx－2x＋2≥0在[1

4、，＋∞)上恒成立.设h(x)＝x2lnx＋lnx－2x＋2，则h′(x)＝2xlnx＋x＋－2，因为x≥1，所以2xlnx≥0，x＋≥2·≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，即h′(x)≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(1)＝0，所以g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立.考点二　利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式【例2】已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1>－成立.(1)解　函数f(x)＝xl

5、nx－ax的定义域为(0，＋∞).当a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x，f′(x)＝lnx＋2.由f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x)min＝f＝－，但f(x)在(0，＋∞)上无最大值.(2)证明　当x>0时，lnx＋1>－等价于x(lnx＋1)>－.由(1)知a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号.设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而可

6、知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即lnx＋1>－.规律方法　1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.【训练2】已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xlnx＋(a≥1).(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).(1)解　依题意得f(x)＝－x3

7、＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，所以f(x)极小值＝f(－1)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝1.(2)证明　易得x>0时，f(x)最大值＝1，由a≥1知，g(x)≥xlnx＋(x>0)，令h(x)＝xlnx＋(x>0)，则h′(x)＝lnx＋1－＝lnx＋，注意到h′(1)＝0，当x>1时，h′(x)>0；当0

8、综上知对任意x1，x2∈(0，＋∞)，