同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学

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1、实用标准文案第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.第1节多元函数的基本概念1.1平面点集为了介绍二元函数

2、的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域．1.1.1邻域设是平面上的一定点，是某一正数，与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即,亦即．在几何上表示以为中心，为半径的圆的内部(不含圆周)．上述邻域去掉中心后，称为的去心邻域，记作．.如果不需要强调邻域的半径，则用表示点的邻域，用表示的去心邻域．1.1.2区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系．设是平面上的一个点集，是平面上的一点，则与的关系有以下三种情形：文档实用标准文案(1)内

3、点：如果存在的某个邻域，使得，则称点为的内点．(2)外点：如果存在的某个邻域，使得，则称为的外点．(3)边界点：如果在点的任何邻域内，既有属于的点，也有不属于的点，则称点为的边界点．的边界点的集合称为的边界，记作．例如：点集，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是的内点，圆外部的点都是的外点，圆心及圆周上的点为的边界点；又如平面点集，直线上方的点都是的内点，直线下方的点都是的外点，直线上的点都是的边界点(图9—1)．图9—1显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E．如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为

4、开集，点集是开集，不是开集．设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集(图9—2)．点集E1和E2都是连通的，点集不是连通的(图9—2)．图9—2文档实用标准文案连通的开集称为开区域(开域)．从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．开区域E连同它的边界构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作(即)．闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及都是闭域，而既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包含边界的平面点集．本书把开区域与闭区域统

5、称为区域．如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数，使，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域．记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点．显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如，设，那么点既是的边界点又是的聚点，但的这个聚点不属于；又如，圆周上的每个点既是的边界点，也是的聚点，而这些聚点都属于．由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．再如点，原点是它的聚点，中的每一个点都不是聚点．1.1.3n维空间Rn一

6、般地，由n元有序实数组的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn．即．n元有序数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标．类似地规定，n维空间中任意两点与之间的距离为．前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，，δ是某一正数，则点的δ邻域为文档实用标准文案．以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念．1.2多元函数的概念1.2.1n元函数的定义定义1设D是中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f,使得对于D中的每一个点，都能由f唯一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函数，记为．其中叫做自变量，y叫做因

7、变量，点集D叫做函数的定义域，常记作．取定，对应的叫做所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为［或］，即．当n=1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作；当n=2时，D为平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作，若记，则也记作．二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域.对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自

8、变量的取值范围，就是函数的定义域．例1在生产中，设产量Y与投入资金