高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数讲义新人教A版.docx

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1、1．3.2　函数的极值与导数1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：①f(a)0，函数单调递增．(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：①f(b)>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值；②f′(b)＝0；③在x＝b附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增；在x＝b附近的右侧，f′

2、(x)<0，函数单调递减．2．求函数f(x)极值的方法与步骤解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值．(3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝

3、x

4、在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此

5、，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．(　　)(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　)(3)函数f(x)＝有极值．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×2．做一做(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．(2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．(3)已

6、知函数f(x)＝x2－2lnx，则f(x)的极小值是________．答案　(1)2　(2)a<0　(3)1探究　　求已知函数的极值例1　求下列函数的极值．(1)f(x)＝＋3lnx；(2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)．[解]　(1)函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)由f(x

7、)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0

8、值；当10改为a<0，结果会怎样？[解]　由例1(2)中表可得：当－10，

9、右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x<0，恒有f′(x)>0，即函数f(x)＝x3是单调递增的，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】　求下列函数的极值

10、．(1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝x2e－x.解　(1)函数的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝