《1.3 正弦定理、余弦定理的应用》教学案2

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1、1.3《正弦定理、余弦定理的应用(2)》教学案教学目标：1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有关的实际问题.2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题.教学重点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．教学难点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．教学方法：讲练结合．教学过程：一、复习引入(一)主要知识：1.正弦定理：．2.余弦定理：3.推论：正余弦定理的边角互换功能．①，，②，，③==④　　4.三角形中的基本关系式

2、：(二)总结解斜三角形的要求和常用方法：1.利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角.2.应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角.二、问题情境利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出

3、解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用．三、数学运用1．例题．例1．如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？学生活动：问题1：四边形怎么产生的呢？生：是定的，动面积变．师：是的，四边形的面积由点的位置惟一确定，而点由惟一确定．问题2：如何求该四边形的面积？生：师：选什么作为自变量呢？生：四边形的面积随着的变化而变化，可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.解　

4、设.在中，由余弦定理，得.于是，四边形的面积为.因为，所以当时，，即时，四边形的面积最大.小结：将四边形的面积表示成的函数，利用三角函数的有界性求出四边形面积的最大值.另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式：的构造及逆用，应要求学生予以重视.例2　如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点3千米，乙离点1千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，(1)起初两人的距离是多少？(2)用包含的式子表示小时后两人的距离；(3)什么时候两人的距离最短？解　(1)设甲、乙两人起初的位置是，，则，　　　∴AB

5、＝km．∴起初两人的距离是km．师：如何表示小时后两人的距离呢？生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变．(2)设甲、乙两人小时后的位置分别是，则，，当时，；当，所以，km．(3)，∴当时，即在第分钟末，最短．答　在第分钟末，两人的距离最短．2．练习：如图，已知为定角，分别在的两边上，为定长．当位于什么位置时，的面积最大？师：三角形的面积怎么表示？解　设，其中为定值，∴师：为定值，要求面积的最值，就是求的最值，那么和有什么关系呢？师：怎样得到的最值呢？∴∴当且仅当时取等号．∴时，的面积最大．小结：本题中用正弦定理表示的面积，然后用余弦

6、定理找到和的关系式，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性．另外，本题还要利用基本不等式．四、回顾小结通过本节学习，要求大家在了解正余弦定理在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力．