2.2椭圆及其标准方程1

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1、1.2.1椭圆及其标准方程（1）数学实验[1]取一条细绳，[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形F1F2M观察作图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定，所以M到两个定点的距离和为定值。..1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于

2、F1F2

3、）的点的轨迹叫椭圆。F1F2M这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。满足几个条件的动点的轨迹是椭圆？[1]平面内----这是前提[2]动点M到两个定点F

4、1、F2的距离之和是常数2a[3]常数2a要大于焦距2cF1F2M动点M的轨迹是线段F1F2.动点M没有轨迹.下面来求椭圆的标准方程:取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。由定义知：()()aycxycx22222=+-+++∴将方程移项后平方得：两边再平方得：由椭圆定义知：两边同除以得：这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，

5、0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2.如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：它也是椭圆的标准方程。2.椭圆的标准方程:yoF1F2MxyxoF1F2M注意：（1）在两个方程中，总有（2）有关系式：（3）在的分母下，焦点在x轴上；在的分母下，焦点在y轴上。或例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(-4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点解：（1）由已知可设椭圆的标准方程为：故所求椭圆的标准方程为：（2）

6、两个焦点的坐标分别是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点（2）由已知可设椭圆的标准方程为：解：由椭圆的定义知，故所求椭圆的标准方程为：注意：求椭圆的标准方程，要先定“位”，即确定焦点的位置；其次是定“量”，即求a、b的大小.a、b、c满足的关系有：例3已知B、C是两个定点，

7、BC

8、=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.ABCxyO解：建系如图，由题意

9、AB

10、+

11、AC

12、+

13、BC

14、=16，

15、BC

16、=6，有

17、AB

18、+

19、AC

20、=10∴点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=10，∴c=3，a=5，b2=a2-c2=52-32=1

21、6.故顶点A的轨迹方程是：=

22、BC

23、，>6课堂练习:P421，2，3，41.平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。因此这个椭圆的标准方程是：（2），焦点在y轴上；（1），焦点在x轴上；3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:2.由

24、PF1

25、+

26、PF2

27、=20，得

28、PF2

29、=20-6=14.4.解：设顶点C(x，y)，则由题意得为所求点C的轨迹方程。5.圆、椭圆、线段CABxyO2、两种

30、标准方程的比较3、在求椭圆方程时，要弄清焦点在哪个轴上，是x轴还是y轴？或者两个轴都有可能？小结：1、椭圆的定义椭圆的标准方程[1]它表示：[1]椭圆的焦点在x轴[2]焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）[3]c2=a2-b2F1F2M0xy椭圆的标准方程[2]它表示：[1]椭圆的焦点在y轴[2]焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）[3]c2=a2-b2F1F2M0xy家庭作业：活页：椭圆及其标准方程1