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1、高二数学同步辅导教材(第12讲)—、本章主要内容8.1椭圆及其标准方程课本笫92页至第97页本讲主要内容1、椭圆的定义及运用；2、用待定系数法求椭圆标准方程。二、学习指导1、椭圆的定义用集合表示为{P
2、
3、PF1
4、+
5、PF2
6、=2a,其中眄、F2是两个定点，2。为定值，2小『也
7、}当2a=
8、FFz
9、吋，点P的轨迹为线段FiFz当2a<
10、F!F2
11、时，点P不存在椭圆的定义作为判定定理用，是求轨迹方程中的定义法；椭圆的定义作为性质定理用，是解决椭圆问题的重要思想方法。课本在推导椭圆标准方程时，涉及到两个无理式的化简及字母计算，希望同学们亲手操作。字母运算是本章的特点，属
12、于技能范畴，同学们要定下心来，在合理选择运算途径后，多算，细心算。2、椭圆的标准方程是指在以焦点的屮点为原点，焦点在坐标轴上的前提条件下推导出来的。92当焦点在X轴上时，方程类型为冷+笃=1a2b222当焦点在y轴上时，方程类型为筈+许二1b2a2恒有a>b>Oo字母x通常写在前面。为了运算简单，有吋也用整式形式，如A/+ByJl(A>0,B>0)等。3、求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。其步骤为：(1)选标准，即判定焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况都有可能；(2)定参数,通过解方程组的思想求得a2,b2,或c?,a2=b2+c2o实际上，定参数(“b
13、,c)是定椭圆的形状，选标進是确定椭圆在能标系屮的位置。例1、椭圆焦距
14、F1F2
15、=4,点P在椭圆上，ZF1PF2=-7t,3的面积S二13侖，求椭圆的标准方程。解题思路分析：因△EPF?的面积可通过S=-lF.F2Ih2及S二£IPF]丨•IPF2I-sinZFiPF?两种方式转化，故本题有两种解题途径。思路一：如图，建立坐标系，则Fi(-7,0),凡(7,0),不妨设P(xo,yo),(xo>0,y0>0)saFjPF2=*IF]F2ly()・13Fi・・yo=〒U3又kpF]=y（）Xo+7ypo一7yoy（）2tan—3XO-7X0+7兀二71+灯（xo+
16、7）（x（）-7）2直线PF倒直线PFz的角为「14y（）/.—y[3=xo2+y°2_49・2620・・x0=——u49・・・P在椭圆上?9・•・彗+殍ia2b2.620507t••T+T-1•49a249b2又a~-b2=c2=49②①②联立，解得（=62,b2=1372・•・所求椭圆方程为—6213v2x2当R,F2在y轴上吋，椭圆方程为厶+—=16213思路二：不防设
17、PFi
18、=ri,
19、PF2
20、=r2,贝!]c_1.2SaFjPE,=—rir2sin5兀・：rir2=52SAF1PF2中IF1F212=ri2+r22_2rir2cos—兀3
21、FiF2
22、2=
23、（ri+r2）2-rir2・•・142=（2a）2-52・・・a=62・・・b2=a2-c2=1322当焦点在X轴上时，椭圆方程为—+^-=16213x2v2当焦点在y轴上时，椭圆方程为—+^-=11362注：思路一偏重于坐标系屮的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正眩定理，余弦定理等，APF.F2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=n+r2,求得即求得2心对条件rr的整体运用等。思路二是先定形状，再定位置。?2例2、定点A(-1,1
24、)，B(1,。),点P在椭圆★牛1上运动,求
25、PA
26、+冋的最值。解题思路分析：B为右焦点若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通考虑用平面儿何知识求解解题的突破口是用定义转化
27、PB
28、设左焦点为Bi(-1,0),则
29、PB
30、=2a-
31、PB1
32、=4-
33、PB1
34、・・・
35、PA
36、+
37、PB
38、=4+
39、PA
40、-
41、PBi
42、・・・
43、PA
44、-PBjWlABj当且仅当P、A、Bi三点共线时，等号成立・・・连AB”延长交椭圆于P】,贝UlPiAl-lPiBiHlABil・・・当P在R时(
45、PA
46、-
47、PBi
48、)max=
49、ABi
50、=l・・・(
51、PA
52、+
53、PB
54、)®=5,此时A(-1,2又
55、PA
56、
57、+
58、PB
59、=4+
60、PA-
61、PBi
62、=4-(
63、PBd-
64、PA
65、)・・・当iPB.I-lPAl最大时,
66、PA
67、+
68、PB
69、最小同刚才理由，延长Bi、A交椭圆于P2则
70、PBl
71、-
72、PA
73、^
74、ABi
75、=
76、P2B1
77、-
78、P2A
79、=l1•I（
80、PAHPB
81、）-=3^此时呎T，=注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小于第三边，如一般情形下,IPB.I-IPAKIABJo当lABil为常数,且严格不等号能取得等号时,lABil为
82、PBd-
83、PA
84、的最大值。这是利用最值定义求最值时一种重要的处理方法，即先找不等关系，再试图寻找等号成立
85、的条件。例
