1.4二次函数与一元二次方程的联系

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1、二次函数与一元二次方程的联系本课内容本节内容1.4画出二次函数的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？二次函数与一元二次方程有怎样的关系？y=x2-2x-3y=x2-2x-3x2-2x-3=0探究如下图所示，二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.由交点坐标可知，当x=-1时，y=0，即，也就是说，x=-1是一元二次方程的一个根.y=x2-2x-3x2-2x-3=0x2-2x-3=0同理，当x=3时，y=0，即，也就是说，x=3是一元二次方程的一个根.x2-2x-3=0x2-2x-3=0一般地，如果二次函数的图象与x轴有两个不同的交点（

2、x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x=x1，x=x2.y=ax2+bx+c观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象（如下图），分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况.动脑筋二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，其坐标都是（3，0），而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实根：x1=3，x2=3.二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种

3、：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的

4、.例1求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).举例分析一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图象法.作出函数y=x2-2x-1的图象，如下图所示：解设二次函数y=x2-2x-1.可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间.y=x2-2x-1通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4或x2≈2.4

5、.y=x2-2x-1我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y21.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1可以发现，当x=-0.5时，y=0.25＞0；而当x=-0.4时，y=-0.04＜0.结合图象可以看出，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5＜x＜-0.4.x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y2

6、1.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1同理，借助计算器，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为x=2.4.题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时，y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4.例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.举例（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？解由抛物线的表达式得x2-6x+5=0，即解得x1=1，x2=

7、5.即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.你能结合图示指出为什么在不同的水平距离，铅球的高度均为2.1m？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？解由抛物线的表达式得x2-6x+9=0，即解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？解由抛物线的表达式得x2-6x+14=0，即因为Δ=（-6）2-4×1×14=-20<0，所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.从例2可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c

8、的某一个函数值y=M，求