1.4二次函数与一元二次方程的联系.4二次函数与一元二次方程的联系

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1、1.4二次函数与一元二次方程的联系教学目标（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数与一元二次方程之间的关系．重、难点二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决.教学过程设计[及创新思维]给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？[实践与探索]例1．画出函

2、数的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？解图象如下图，（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x=-1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当-1＜x＜3时，y＜0．例2．（1）已知抛物线，当k=时，抛物线与x轴相交于两点．（2）已知二次函数的图象

3、的最低点在x轴上，则a=．（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是．分析（1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．例3．已知二次函数，（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这

4、两个交点都在原点的左侧？（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？分析（1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．解（1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必

5、与x轴有两个交点．（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．探索第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．课堂练习[来源:Z+xx+k.Com]1．已知二次函数的图象如图，则方程的解是，不等式的解集是，不等式的解集是．2．抛物线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两

6、个交点间的距离为．4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．课堂小结（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．[本课课外作业]A组[来源:学&科&网]1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．[来源:学*科*网Z*X*X*K]（1）方程的解是什么？（2）x取什么值时，

7、函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．4．已知二次函数，求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；（3）x为何值时，y＞0．5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？B组6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个7．已知二次函数．[来源:学#科#网Z#X#X#K]（1）说明

8、抛物线与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；[来源:学科网ZXXK]（3）a取何值时，两点间的距离最小？