圆锥曲线的最值问题

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1、圆锥曲线中的最值问题例1：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求：△ABP的最大面积及此时点P的坐标。动点在弧AB上运动，可以设出点P的坐标，只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离，也就求出了△ABP的最大面积。要使△ABP的面积最大，只要点P到直线AB的距离d最大。设点P()解：由已知：

2、AB

3、=2x-y-4=0直线AB：*解题过程如下：*分析：d=由已知：－2＜y＜4∴dmax=此时，y=1,x=d=∴点的坐标为(，1)∴Smax=

4、我们可以连接AB，作平行AB的直线L与抛物线相切，求出直线L的方程，即可求出直线L与AB间的距离，从而求出△ABP面积的最大值和点P的坐标。分析：y2-2y+2m=0设直线L与抛物线y2=4x相切，直线AB：2x-y-4=0直线L的方程为：2x-y+m=0（*）△=4-8m=0,m=此时，y=1,x=∴直线L的方程为：2x-y+=0两直线间的距离d=另解：把（*）代入抛物线的方程得其他过程同上。练习1：在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。略解：圆心到直线L的距离d1=所以圆上的点到直线的最短距离为d=d1-r思考：

5、练习1是否还有其他解题方法？问题：直线L的方程改为3x-2y-6=0，其结果又如何？另解：设平行于直线L且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0∵直线与圆相切∴△=36m2-52(m2-16)=0m=±∴m2=52，代入圆x2+y2=4整理得：三解：用圆的参数方程去解。设点P为圆x2+y2=4上的任意点，则点P（2cosθ,2sinθ）（0≤θ＜2π）点P（2cosθ,2sinθ）到直线L的距离∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离例2：如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值

6、MF

7、+

8、MF’

9、

10、=10

11、MF

12、+

13、MA

14、=10-

15、MF’

16、+

17、MA

18、=10+(

19、MA

20、-

21、MF’

22、)≤10+

23、AF’

24、因此，当

25、AF’

26、最大时，

27、MA

28、+

29、MF

30、是最大值。具体解题过程如下：已知椭圆的右焦点F，且有定点A（1，1），又点M是椭圆上一动点。问

31、MA

32、+

33、MF

34、是否有最值，若有，求出最值并指出点M的坐标分析：则F’的坐标为(－4,0)解：设椭圆的左焦点为F’由椭圆的定义得：

35、MF

36、+

37、MF’

38、=10

39、MF

40、+

41、MA

42、=10-

43、MF’

44、+

45、MA

46、连AF’，延长交椭圆于M’则

47、

48、MA

49、-

50、MF’

51、

52、≤

53、AF’

54、当且仅当M,A,F’三点共线时，等号成立。∴

55、MA

56、

57、-

58、MF’

59、的最大值为

60、AF’

61、，这时M与M’重合∵

62、AF’

63、=∴

64、MF

65、+

66、MA

67、的最大值为要使

68、MF

69、+

70、MA

71、最大，即要使

72、MA

73、-

74、MF’

75、最大，问题：本题解题到此结束了吗？最小值为已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，在此抛物线上求一点P，使

76、PM

77、+

78、PF

79、取得最小值，求点P的坐标抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。即

80、PF

81、=

82、PN

83、∴

84、PM

85、+

86、PF

87、=

88、PM

89、+

90、PN

91、∴当M、P、N三点共线时距离之和最小。FM练习2：如图，由抛物线的定义：分析：FMPN解：如图所示

92、P’F

93、=

94、P’N’

95、即：

96、P’F

97、+

98、P’M

99、=

100、

101、P’N’

102、+

103、P’M

104、∴

105、P’M

106、+

107、P’N’

108、≥

109、PM

110、+

111、PN

112、=

113、PM

114、+

115、PF

116、又∵点P的纵坐标等于点M的纵坐标，即y=2所以，点P的坐标为（2，2）在抛物线y2=2x上任取一点P’(x’,y’),作P’N’⊥准线L，作MN⊥L，MN交抛物线于P（x，y）由抛物线的定义得：当P’和P重合时，即PN⊥L，N、P、M三点共线，FMP’NPN’例3求点到椭圆上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。分析：解：设点Q(x,y)为椭圆上的任

117、意一点，则又因为x2=4-4y2所以（－1≤y≤1）此时，所以的最大值为即此时Q的坐标为：思考：我们能否通过椭圆的参数方程去求？思考题：小结：在解几中，常见的最值问题的求解方法主要有以下几种：几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的一些特点，将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数，再探求目标函数的最值方法。判别式法：利用已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程的判别式寻求题目的答案。参数法：利用圆、椭圆的参数方程，借助于三角函数的有界性，求出与它们有关的最值。