《椭圆的参数方程》同步练习3

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1、《椭圆的参数方程》同步练习3(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C：，(φ为参数)的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.【解析】　由题设，得＋＝1，∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，因此e＝＝.【答案】　A2．参数方程，(α为参数)的普通方程是(　　)A．y2－x2＝1B．x2－y2＝1C．y2－x2＝1(1≤y≤)D．y2－x2＝1(

2、x

3、≤)【解析】　因为x2＝1＋sinα，所以sinα＝x2－1.又因为y2＝2＋sinα＝2＋(x2－1)，所以y2－x2＝1.∵－1≤sinα≤1，y＝，∴1≤y≤.∴普通方程为y2－x2＝1，y∈[1，

4、]．【答案】　C3．点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为(　　)A．0B．1C.D．2【解析】　d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1.【答案】　B4．已知曲线，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是(　　)A．(3,4)B．(，2)C．(－3，－4)D．(，)【解析】　由题意知，3cosθ＝4sinθ，∴tanθ＝，又0≤θ≤π，则sinθ＝，cosθ＝，∴x＝3×cosθ＝3×＝，y＝4sinθ＝4×＝，因此点P的坐标为(，)．【答案】　D二、填空题(每小题5分，

5、共10分)5．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．【解析】　由得点M的坐标为(1,2)．直线OM的斜率k＝＝2.【答案】　26．(2013·江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．【解析】　化为普通方程为y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以化为极坐标方程为ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.【答案】　ρcos2θ－sinθ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(2013·平

6、顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使

7、OM

8、＝

9、MP

10、，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】　抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)．设P(x，y)，则M是OP中点．∴∴(t为参数)，消去t得y＝x2，是以y轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(2012·龙岩模拟)已知直线l的极坐标方程是ρcosθ＋ρsinθ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．【解】　由题意知直线和椭圆方程可化为：x＋

11、y－1＝0，①＋y2＝1，②①②联立，消去y得：5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝.设直线与椭圆交于A、B两点，则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，(，－)，则

12、AB

13、＝＝.故所求的弦长为.9．(2013·漯河调研)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解】　(1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，得点(0,4)．因为

14、点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝＝＝cos(α＋)＋2，由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．【解】　设椭圆的参数方程是，其中，a>b>0,0≤θ<2π.由e2＝＝＝1－()2可得＝＝即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋(y－)2＝a2

15、cos2θ＋(bsinθ－)2＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsinθ＋＝4b2－3b2sin2θ－3bsinθ＋＝－3b2(sinθ＋)2＋4b2＋3，如果>1即b<，即当sinθ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝(b＋)2，由此得b＝－>，与b<矛盾．因此必有≤1成立，于是当sinθ＝－时，d2有最大值，由题设得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2.所求椭圆的参数方程是由sinθ＝－，cosθ＝±可得，椭圆上的