排列与组合综合应用

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1、排列组合的综合应用计数的基本原理排列组合排列数Anm公式组合数Cnm公式组合数的两个性质应用本章知识结构分类计数原理完成一件事,有n类办法,在第1类办法中,有m1种不同的方法,在第2类办法中,有m2种不同的方法……在第n类办法中,有mn种不同的方法,则完成这件事有N=m1+m2+……+mn种不同的方法分步计数原理完成一件事,需要分成n个步骤,在第1步中,有m1种不同的方法,在第2步中,有m2种不同的方法……在第n步中,有mn种不同的方法,则完成这件事有N=m1×m2×……×mn种不同的方法分类计数原理与分步计数原理之间的区别与联系1．分类计数原理中各类方法之间是互相独立的，每一类每一种方法都能

2、直接完成这件事情，分步计数原理中，各个步骤之间是相互联系的，依次完成所有步骤才能完成这件事情．2．分类计数原理的重点在一个“类”字，分步计数原理的重点在一个“步”字，应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，在各类办法中彼此是独立的，并列的．应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的连续性，做一件事需分成若干个步骤，每个步骤相继完成，最后才算做完整个工作练习1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的

3、书两本，有多少种不同的取法？答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．N=m1×m2×m3=90．N=3×5＋3×6＋5×6=63．练习2：由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．从n个不同的元素中，任取A个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取

4、出A个元素的一个排列。排列与排列数所有排列的个数叫做排列数，用表示。判断下列几个问题是不是排列问题?①从班级5名优秀团员中选出3人参加上午的团委会②1000本参考书中选出100本给100位同学每人一本③1000名来宾中选20名贵宾分别坐1～20号贵宾席组合④两个组合的元素完全相同为相同组合注①n个不同元素②m≤n③组合与元素的顺序无关排列与元素的顺序有关从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示方法Cmn从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数的两个性质性质1性质2Cnm=AnmA

5、mm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m﹗例2计算:C107(2)C74(1)C例3求证mCnCnm+1=m+1n-m判断下列几个问题是排列问题还是组合问题?⑤四个足球队举行单循环比赛(每两队比赛一场)共有多少种比赛?⑥四个足球队举行单循环比赛的所有冠亚军的可能性情况有多少种?③从2,3,4,5,6中任取两数构成指数,有多少个不同的指数?④从2,3,4,5,6中任取两数相加,有多少个不同的结果?①十个人相互通了一封信,共有多少封信?②十个人相互握一次手,共握了多少次手?1）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有个。2）用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位

6、数，共有个。3）五名同学排成一排，其中的甲乙两同学必须站在两端，共有种不同排法。4810012例1典型例题例2从1到6这六个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数,且个位和百位必须是奇数,这样的五位数共有多少个?万千百十个解法:N==144个有条件的排列问题有条件的排列问题例3七个家庭一起外出旅游，若其中四家各有一个男孩，三家各有一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。a)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有种排法，而三个女孩之间有种排法，所以不同的排法共有：（种）。捆绑法有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现

7、将这七个小孩站成一排照相留念。b)若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）说一说捆绑法一般适用于问题的处理。相邻有条件的排列问题七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。c)若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法