3.1.2导数及其几何意义

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1、导数及其几何意义钟祥市实验中学肖鸿秀2016.4.12割线和过曲线上一点的切线:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy1.如图,曲线C是函数y=f(x)的图像,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T2.如图，曲线C是函数f（x）的图像，P是曲线C上任意一点，Q为P邻近的一点，PQ为曲线C的割线。请看当点Q沿着曲线逐渐向点P逼近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着

2、曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的平均变化率的极限.导数的定义定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx0时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作即:由导数的意义

3、可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.导数的几何意义:曲线在该点处切线的斜率.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用求导数的方法求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.例2如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程

4、.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.1.由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.小结:（1）求出函数在点x0处的导数，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即2.求切线方程的步骤：无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导

5、数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。课堂练习及作业P65页：练习2P65页：习题3.1：2，4，10，11.思考题:①f′(1)与f(1)含义什么不同？②f′(1)与f′(x)含义有什么不同？