3.2平行线分线段成比例

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1、平行线分线段成比例本节内容3.2下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC，则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是真的吗？观察如下图所示，已知直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a、b、c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，且AB=BC.过点B作直线l3∥l2，分别与直线a、c相交于点A2、C2.由于a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行

2、线间的平行线段相等”可知A2B=A1B1，BC2=B1C1.在△BAA2和△BCC2中，∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，∠BAA2=∠BCC2，因此△BAA2≌△BCC2.从而BA2=BC2，所以A1B1=B1C1.由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.动脑筋如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度.相等吗？任意平移直线c

3、，再度量AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与与还相等吗？=下面我们来证明：假设，则把线段二等分，分点为D，过点D作直线d∥a，交l2于点D1，如下图:把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1，F1.由已知，得.由于，因此.由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.从而类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线被直线a、b、c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，若（其中m，n是正整数），则l1，l2进一步可以证明，若

4、（其中k为无理数），则，，我们还可以得到：从而结论两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.由此，得到以下基本事实：我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.动脑筋如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则和成立吗？为什么？如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.∵DE∥BC，∴MN∥DE∥BC.同时还可以得到因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知，结论平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.由此得到以下结论：举例例如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，B

5、C=3，A1B1=1.5，求B1C1的长.即，由平行线分线段成比例可知，解因此练习如图，AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且BA∥MN∥CD.已知OA=3，OB=1，OD=2，求OC的长.1.则由平行线分线段成比例可知，解所以BA∥MN∥CD，因为如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC.若AB=3，AD=2，EC=1.8，求AC的长.2.则由平行线分线段成比例可知，解DE∥BC，∵又∴∴解得中考试题例如图，在△ABC中，DE∥BC，且DB=AE，若AB=5，AC=10，求AE的长.解由DE∥

6、BC，可得设DB=AE=x，∵AB=2，BC=3，∴（5-x）:5=x:10.解得x=即AE的长为结束