[工学]信号与系统第2章

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1、第2章连续时间系统的时域分析2.2零输入响应与零状态响应2.1系统响应的经典求解2.3冲激响应与阶跃响应2.4系统的卷积积分分析2.5卷积积分的性质（1）元件端口的电压与电流约束关系电网络的两个约束特性：2.1系统响应的经典求解2.1.1连续系统数学模型C（2）各电路的电流、电压约束关系（即电路定律KVL、KCL）例2-2：如下图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号，试列写求电流i2(t)的微分方程式。解：对于初、次级回路分别应用KVL，可以得到一对微分方程式i1(t)i2(t)RRLL+-x(t)M将式（4）、（5）代入式（3

2、）并整理得：对式（1）两边求导得：(3)由式（2）得：(4)对式（4）两边求导得：(5)(1)(2)对于一个线性系统，其激励信号x(t)与响应函数y(t)之间的关系，可用下列形式的微分方程式来描述上式就是一个常系数n阶线性常微分方程。2.1.2用经典法求解微分方程此方程的完全解由两部分组成，这就是齐次解和特解。齐次解应满足特征方程为1）特征根为单根，微分方程的齐次解为2）特征根有重根，假设是特征方程的K重根，那么，在齐次解中，相应于的部分将有K项3）若、为共轭复根，即那么，在齐次解中，相应于、的部分为例2-4：求下列微分方程的齐次解。

3、解：特征方程为特征根（重根）齐次解下面讨论求特解的方法，特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端，代入后的函数式称为“自由项”。通常，由观察自由项试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。自由项特解E(常数)(常数)解:（1）列写微分方程式为节点1：节点2：例2-6：如下图所示电路，已知激励信号x(t)=cos2tu(t),两个电容上的初始电压均为零，求输出信号v2(t)的表达式。+-x(t)v1(t)+-C10.5FR1R2+-C2+-v2(t)12（2）为求齐次解，写出特征方程特征

4、根（3）查表，得特解为代入原方程得齐次解比较上述方程两边系数，并求解得（4）完全解为由于已知电容C2上的初始电压为零，因而有v2(0)=0,又因为电容C1上的初始电压也为零，于是流过R2,C2中的初始电流也为零，即。+-x(t)v1(t)+-C10.5FR1R2+-C2+-v2(t)（1）由v2(0)=0及代入（1）式求得：2.1.3初始条件的确定（起始点的跳变——从0-到0+）在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时系统的状态决定。一）起始状态与初始状态二）初始条件的确定可以利用系统内部储能的连续性，这时有首先判断vC(0-)和

5、iL(0-)值，然后由储能的连续性写出vC(0+)和iL(0+)，再根据元件约束特性与网络拓扑约束即可求得0+时刻其它电压、电流值。对于稍复杂的情况，跳变值往往不易直接求得，这时，可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。(奇异函数平衡法)起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态（1）由例2-2的微分方程式，将x(t)=u(t)代入，得例2-7：如下图的电路中，若激励为单位阶跃信号，x(t)=u(t)，系统起始无储能，试求i2(t)。i1(t)i2(t)RRLL+-x(t)M由题意知

6、（2）求初始条件包含包含包含（3）求齐次解，写出特征方程求得两特征根为：由于在t>0以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。（4）求特解yp(t)（5）求全响应i2(t)所以利用初始条件求系数A1、A2解之得：例2-8：已知微分方程为求解：将x(t)=u(t)代入微分方程右端得包含包含包含包含包含包含包含所以即2.2零输入响应与零状态响应经典法求解系统的完全响应可分为：完全响应=自由响应+强迫响应系统的完全响应也可分为：完全响应=零输入响应+零状态响应零状态响应：当起始状态时，由激励信号x(t)所产生的响应。零输入响应：当激励信号

7、x(t)=0时，由起始状态所产生的响应。由于激励信号x(t)=0，所以系统的起始时刻不会产生跳变。所以零输入响应为自由响应的形式，即其中系数Azik由起始条件来确定。零状态响应的形式为：其中系数Azsk由跳变量来确定。：确定全响应的系数：确定零输入响应的系数：确定零状态响应的系数解：：初始条件，确定全响应的系数，：起始条件，确定零输入响应的系数，：跳变量，确定零状态响应的系数,1）求全响应y(t)特征根为，所以，而这样，全响应为例2-9已知系统的微分方程为且，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和全响应。2）求零输入响应yzi

8、(t)由初始条件可求出系数A=，所以由起始条件可求出系数Azi=，所以3）求零状态响应yzs(t)由跳变量可求出系数Azs=－1，所以或：2.3冲激响应与阶跃响应以单位冲激信号作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位冲激