[理学]线性代数第14讲

《[理学]线性代数第14讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数第14讲二次型9/19/20211二次型就是二次多项式.在解析几何中讨论的有心二次曲线,当中心与坐标原点重合时,其一般方程是ax2+2bxy+cy2=f(1)方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式.为了便于研究这个二次曲线的几何性质,通过基变换(坐标变换),把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程a'x'2+c'y'2=f(2)在二次曲面的研究中也有类似的问题.9/19/202126.1二次型的定义和矩阵表示合同矩阵9/19/20213定义1n元变量x1,x2,...,xn的二次多项式当系数属于

2、数域F时,称为数域F上的一个n元二次型.本章讨论实数域上的n元二次型,简称二次型.9/19/20214由于xixj=xjxi,具有对称性,若令aji=aij,i

3、(6.2)知,A为对称矩阵,又若A,B为n阶对称方阵,且f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX,则必有A=B.故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的.所以,研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质.9/19/20217例1设则它的矩阵为9/19/20218一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函数,即f(a)=XTAX.(6.6)其中X=[x1,x2,...,xn]T是a在Rn的一组基下的坐标向量.所以二次型XTAX是向量a的n个坐标的二次齐次函数.因此二次型作为n维向量a的函数,它的矩阵是与一

4、组基相联系的.9/19/20219如果a在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为X=[x1,x2,...,xn]T和Y=[y1,y2,...,yn]T,又[h1,h2,...,hn]=[e1,e2,...,en]C,于是X=CY.(6.7)如此则有二次型f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y,(6.8)即二次型f(a)在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下所对应的矩阵分别为A和CTAC其中CTAC仍是对称阵,YT(CTAC)Y是y1,

5、y2,...,yn的一个二次型.9/19/202110例2设向量a在自然基{e1,e2}下的坐标[x1,x2]T满足方程作基变换,将e1,e2逆时针旋转45变为h1,h2即则a在基{h1,h2}下的坐标[y1,y2]T满足9/19/202111将(3)式代入(1)式其中9/19/202112这样,我们就把方程化成了在基{h1,h2}的坐标系下的标准方程,它的图形是一个椭圆.x1x2Oy1y29/19/202113对于一般的二次型f(x1,x2,...,xn),将其化为y1,y2,...,yn的纯平方项之代

6、数和(简称平方和),是研究二次型的一个基本问题.解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性变换X=CY,(其中C为可逆阵,这个变换也可看成向量a在基变换下的坐标变换),使得XTAX=YT(CTAC)Y成为y1,y2,...,yn的平方和.这个基本问题,从矩阵的角度来说,就是对于一个实对称矩阵,寻找一个可逆矩阵C,使得CTAC成为对角形.9/19/202114定义2对于两个矩阵A和B,如果存在可逆阵C,使得CTAC=B,就称A合同于B,记作AB.由定义容易证明,矩阵之间的合同关系也具有反身性,对称性和传递

7、性.由于合同关系有对称性,所以A合同于B,也说成A与B是合同的,或A,B是合同矩阵.9/19/2021156.2化二次型为标准型9/19/202116本节讨论的问题是:如何通过非退化线性变换X=CY,把二次型f(x1,x2,...,xn)=XTAX化为y1,y2,...,yn的平方和,即为化d1y12+d2y22+...+dnyn2.我们把含平方项而不含混合项的二次型称为标准的二次型.或称化成的这种标准的二次型称作二次型XTAX的标准型.化二次型为标准型,就是对实对称矩阵A,寻找可逆阵C,使CTAC成对角形

8、.9/19/2021176.2.1正交变换法在5.3节讲过,对于任一个n阶实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q,使得QTAQ=L.由于Q-1=QT,所以有QTAQ=diag(l1,l2,...,ln).因此有下面的定理.9/19/202118定理1(主轴定理)对于任一个n元二次型f(x1,x2,...,xn)=XTAX,存在正交变换X=QY(Q为n阶正交矩阵),使得XTAX=Y(QTAQ)Y=l1y12+l2y22+