线性代数第6讲

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1、第三章　矩阵的初等变换与线性方程组上页下页返回引例首页结束铃§1矩阵的初等变换§2矩阵的秩§3线性方程组的解§3.1矩阵的初等变换上页下页返回引例首页结束铃①②①②方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上显然交换B的第1行与第2行即得B1增广矩阵的比较例如下页③2③2显然把B的第3行乘以(1/2)即得B2方程组的同解变换与增广矩阵

2、的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上例如增广矩阵的比较下页①2②①2②显然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上例如增广矩阵的比较下页线性方程组与其增

3、广矩阵相互对应对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等变换方程组的同解变换与增广矩阵的关系在解线性方程组的过程中我们可以把一个方程组变为另一个同解的方程组这种变换过程称为同解变换同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上下页下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换(i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素(iii)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去矩阵的初等变换这三种变换都是可逆的

4、且其逆变换是同一类型的初等变换例如变换ri+krj的逆变换为ri+(k)rj(或记作rikrj)rirj(cicj)对调ij两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数kri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上初等变换的符号下页矩阵的等价关系如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B就称矩阵A与B等价记作A~B如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B就称矩阵A与B行等价记作A~Br如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B就称矩阵A与B列等价记作A~Bc等价关系的性质(i)反身性

5、A~A(ii)对称性若A~B则B~A(iii)传递性若A~BB~C则A~C下页~~~~~r3r41121401110000261121402220055360334311214211122311236979r42r3矩阵初等变换举例r1r2r2r3r32r1r43r111214011100002600013r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行阶梯形矩阵行最简形矩阵101040110300013000000000000013下页可以证明对于任何矩阵A

6、总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵下页~~~~~r3r41121401110000261121402220055360334311214211122311236979r42r3矩阵初等变换举例r1r2r2r3r32r1r43r111214011100002600013r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3101040110300013000000000000013矩阵初等变换举例对行最简形矩阵再施以初等列变换可变成一种形状更简单的矩阵

7、称为标准形其特点是左上角是一个单位矩阵其余元素全为0矩阵的标准形~c比如上述行最简形矩阵经初等列变换得下页~rr~~c因为有上述等价关系所以有同解线性方程组行最简形矩阵与线性方程组的解矩阵初等变换举例>>>完整解题过程下页~rr~矩阵初等变换举例所有行等价的矩阵组成的一个集合集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的而且是最容易求解的行最简形矩阵与线性方程组的解结束~rr~行等价的矩阵同解线性方程组由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵E(i(k))表示用非零数k乘单

8、位矩阵E的第i行(列)得到初等矩阵E(ij(k))表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行上或把单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上