3.2.2复数代数形式的乘除运算.

3.2.2复数代数形式的乘除运算.

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1、3.2.2复数代数形式的乘除运算掌握复数的乘法、除法的运算法则并能熟练准确地运用法则解决相关的问题.本节重点:复数代数形式的乘除运算.本节难点:复数除法.1.复数的乘法按多项式乘法的规则进行运算,结果中的i2要换成-1,并且把实部与虚部分别合并,两个复数的乘积仍然是一个复数.2.i的幂的周期性.i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1(n∈N*).1.复数乘法运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则z1z2=(a+bi)(c+di)=.2.复数乘法满足交换律、结合律及分配律对任意z1、z2、z3∈C,有①z1·z2=;②(z1z2)

2、z3=;③z1(z2+z3)=.(ac-bd)+(ad+bc)iz2·z1z1(z2z3)z1z2+z1z3[例1](1)设复数z1=1+i,z2=x+2i(x∈R).若z1z2为实数,求实数x;(2)计算:(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i);(3)计算:(a+bi)(a-bi)(a,b∈R).[分析](1)利用乘法法则先求出z1z2,由z1z2的虚部等于零可求得x.(2)主要利用i的性质:i4n=1,i4n+1=1,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).(3)也可直接应用平方差公式.[解析](1)z1z2=(1+i)(x+2i)=x+2i+xi-2=(

3、x-2)+(2+x)i,因为z1z2是实数,所以x+2=0,所以x=-2.(2)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=2(11-7i)+25(1-i)=47-39i.(3)原式=a2-abi+bai-b2i2=a2+b2.[点评]复数的运算顺序与实数的运算顺序相同,即先进行高级运算(乘方、开方),再进行次高级运算(乘、除),最后进行低级运算(加、减).如含有i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.(1)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于()[

4、答案]A(2)(2009·江苏,1)若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为________.[答案]-20[解析]本题主要考查复数的概念及运算.∵z1=4+29i,z2=6+9i,∴(z1-z2)i=[(4+29i)-(6+9i)]i=-20-2i.∴复数(z1-z2)i的实部为-20.[分析]对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的要知道其结果,这样起点就高,计算过程就可以简化,达到快速简捷出错少的目的.[点评]复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接地约简,得出结论,但复数的除法因为分母为复数一般不能直接

5、约分化简,复数除法的一般作法是,由于两个共轭复数的积是一个实数,因此两个复数相除,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子分母都乘以分母的共轭复数并把结果化简即可.[答案]A[答案]A[解析](1)设z=x+yi(x,y∈R).则集合P={(x,y)

6、x2+y2-6y+5=0}={(x,y)

7、x2+(y-3)2=4},故P表示以(0,3)为圆心,2为半径的圆.设w=a+bi(a,b∈R).z=x0+y0i∈P(x0,y0∈R)且w=2iz.[例4]计算:i+i2+i3+…+i2011.[分析]由题目可获取以下主要信息:已知虚数单位i的幂,求和.解答本题可利用等比数列求和公式化简或者

8、利用in的周期性化简.[点评]1.虚数单位i的周期性.①i4n+1=1,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N).n也可以推广到整数集.②in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).计算:1+2i+3i2+…+2012·i2011.[解析]设S=1+2i+3i2+…+2012i2011①则iS=i+2i2+3i3+…+2011i2011+2012i2012②①-②得(1-i)·S=1+i+i2+…+i2011-2012i2012=-1-2012(i4)503=-2013对于n个复数z1、z2、…、zn,如果存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn,使得k1z1

9、+k2z2+…+knzn=0,就称z1、z2、…、zn线性相关.若要说明复数z1=1+2i,z2=1-i,z3=-2线性相关,那么可取{k1,k2,k3}=__________.(只要写出满足条件的一组值即可)[答案]C[答案]B3.(2010·江西理,1)已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2[答案]D[解析]由(x+i)(1-i)=y得(x+1)-(x-1)i=y

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